二次関数 $y = f(x) = -2x^2 + (2a + 5)x - a$ の区間 $-4 \le x \le 1$ における最大値と最小値を、$a$ の値によって場合分けして求め、表に書き込む問題です。

1. 問題の内容

二次関数 $y = f(x) = -2x^2 + (2a + 5)x - a$ の区間 $-4 \le x \le 1$ における最大値と最小値を、$a$ の値によって場合分けして求め、表に書き込む問題です。

2. 解き方の手順

まず、与えられた二次関数を平方完成します。

\begin{align*}

y &= -2x^2 + (2a + 5)x - a \\

&= -2\left(x^2 - \frac{2a+5}{2}x\right) - a \\

&= -2\left(x - \frac{2a+5}{4}\right)^2 + 2\left(\frac{2a+5}{4}\right)^2 - a \\

&= -2\left(x - \frac{2a+5}{4}\right)^2 + \frac{(2a+5)^2}{8} - a \\

&= -2\left(x - \frac{2a+5}{4}\right)^2 + \frac{4a^2 + 20a + 25 - 8a}{8} \\

&= -2\left(x - \frac{2a+5}{4}\right)^2 + \frac{4a^2 + 12a + 25}{8}

\end{align*}

軸は $x = \frac{2a+5}{4}$ です。

区間 $-4 \le x \le 1$ における最大値と最小値を考えるために、軸の位置によって場合分けを行います。

軸の位置によって場合分けを行います。

(1) $\frac{2a+5}{4} < -4$ のとき（$2a+5 < -16$ より $a < -\frac{21}{2}$）

区間 $-4 \le x \le 1$ で $f(x)$ は単調減少なので、最大値は $f(-4)$、最小値は $f(1)$ となります。

$f(-4) = -2(-4)^2 + (2a+5)(-4) - a = -32 - 8a - 20 - a = -9a - 52$

$f(1) = -2(1)^2 + (2a+5)(1) - a = -2 + 2a + 5 - a = a + 3$

(2) $-4 \le \frac{2a+5}{4} \le 1$ のとき（$-16 \le 2a+5 \le 4$ より $-\frac{21}{2} \le a \le -\frac{1}{2}$）

最大値は頂点の $y$ 座標 $\frac{4a^2+12a+25}{8}$ となります。

最小値は、$x = -4$ と $x = 1$ のうち、軸から遠い方の値となります。

(2-1) $-4 \le \frac{2a+5}{4} \le -\frac{3}{2}$ のとき（$-16 \le 2a+5 \le -6$ より $-\frac{21}{2} \le a \le -\frac{11}{2}$）

このとき、軸は区間の中央 $x = -\frac{3}{2}$ より左側にあるので、$f(1)$ が最小値となります。

最小値は $f(1) = a + 3$

(2-2) $-\frac{3}{2} < \frac{2a+5}{4} \le 1$ のとき（$-6 < 2a+5 \le 4$ より $-\frac{11}{2} < a \le -\frac{1}{2}$）

このとき、軸は区間の中央 $x = -\frac{3}{2}$ より右側にあるので、$f(-4)$ が最小値となります。

最小値は $f(-4) = -9a - 52$

(3) $\frac{2a+5}{4} > 1$ のとき（$2a+5 > 4$ より $a > -\frac{1}{2}$）

区間 $-4 \le x \le 1$ で $f(x)$ は単調増加なので、最大値は $f(1)$、最小値は $f(-4)$ となります。

$f(-4) = -2(-4)^2 + (2a+5)(-4) - a = -32 - 8a - 20 - a = -9a - 52$

$f(1) = -2(1)^2 + (2a+5)(1) - a = -2 + 2a + 5 - a = a + 3$

まとめると、

\begin{itemize}

\item $a < -\frac{21}{2}$ のとき：最大値 $-9a - 52$、最小値 $a+3$

\item $-\frac{21}{2} \le a \le -\frac{11}{2}$ のとき：最大値 $\frac{4a^2+12a+25}{8}$、最小値 $a+3$

\item $-\frac{11}{2} < a \le -\frac{1}{2}$ のとき：最大値 $\frac{4a^2+12a+25}{8}$、最小値 $-9a-52$

\item $a > -\frac{1}{2}$ のとき：最大値 $a+3$、最小値 $-9a-52$

\end{itemize}

3. 最終的な答え

| a の範囲 | 最大値 | 最小値 |

|---|---|---|

| $a < -\frac{21}{2}$ | $-9a - 52$ | $a+3$ |

| $-\frac{21}{2} \le a \le -\frac{11}{2}$ | $\frac{4a^2+12a+25}{8}$ | $a+3$ |

| $-\frac{11}{2} < a \le -\frac{1}{2}$ | $\frac{4a^2+12a+25}{8}$ | $-9a-52$ |

| $a > -\frac{1}{2}$ | $a+3$ | $-9a-52$ |