不等式 $a^2 - ab + b^2 \ge 0$ を証明し、等号が成り立つ条件を求める。

1. 問題の内容

不等式 $a^2 - ab + b^2 \ge 0$ を証明し、等号が成り立つ条件を求める。

2. 解き方の手順

与えられた式 $a^2 - ab + b^2$ を変形して、平方完成を目指します。

$a^2 - ab + b^2$ の $a$ に関する平方完成を行うために、$a^2 - 2 \cdot a \cdot \frac{b}{2} + (\frac{b}{2})^2$ の形を目指します。

そのため、

$a^2 - ab + b^2 = a^2 - 2 \cdot a \cdot \frac{b}{2} + (\frac{b}{2})^2 - (\frac{b}{2})^2 + b^2$

$= (a - \frac{b}{2})^2 - \frac{b^2}{4} + b^2$

$= (a - \frac{b}{2})^2 + \frac{3}{4} b^2$

ここで、$(a - \frac{b}{2})^2 \ge 0$ であり、$\frac{3}{4} b^2 \ge 0$ であるから、

$(a - \frac{b}{2})^2 + \frac{3}{4} b^2 \ge 0$

したがって、$a^2 - ab + b^2 \ge 0$ が証明されました。

等号が成り立つのは、$(a - \frac{b}{2})^2 = 0$ かつ $\frac{3}{4} b^2 = 0$ のときです。

$\frac{3}{4} b^2 = 0$ より、$b=0$

$a - \frac{b}{2} = 0$ に $b=0$ を代入すると、$a - 0 = 0$ より、$a=0$

したがって、$a=b=0$ のとき、等号が成り立ちます。

3. 最終的な答え

不等式 $a^2 - ab + b^2 \ge 0$ は証明された。

等号が成り立つのは $a=b=0$ のときである。