与えられた式 $6x^2 + 23xy - 18y^2$ を因数分解してください。

1. 問題の内容

与えられた式 $6x^2 + 23xy - 18y^2$ を因数分解してください。

2. 解き方の手順

この式は二次式であるため、$(ax + by)(cx + dy)$ の形に因数分解できると考えられます。

$ac = 6$ および $bd = -18$ であるような $a, b, c, d$ を探します。また、$ad + bc = 23$ である必要があります。

$6$ の因数分解は $1 \times 6$ と $2 \times 3$ があります。

$-18$ の因数分解はいくつかあります。例えば、$-1 \times 18$, $1 \times -18$, $-2 \times 9$, $2 \times -9$, $-3 \times 6$, $3 \times -6$ などです。

試行錯誤により、以下の組み合わせが見つかります。

$a = 2, c = 3, b = -2, d = 9$ を試すと、$ad + bc = 2(9) + (-2)(3) = 18 - 6 = 12$ となり、23 になりません。

$a = 3, c = 2, b = -2, d = 9$ を試すと、$ad + bc = 3(9) + (-2)(2) = 27 - 4 = 23$ となり、正しいです。

したがって、$(3x - 2y)(2x + 9y)$ が因数となります。

念のため展開して確認します。

$(3x - 2y)(2x + 9y) = 3x(2x) + 3x(9y) - 2y(2x) - 2y(9y) = 6x^2 + 27xy - 4xy - 18y^2 = 6x^2 + 23xy - 18y^2$ となり、元の式と一致します。

3. 最終的な答え

$(3x - 2y)(2x + 9y)$