問題は $6x^2 - 7xy + 2y^2 - 6x + 5y - 12$ という式を因数分解することです。 指示として、$x^2 + 3x = A$ とおくことが与えられています。

1. 問題の内容

問題は $6x^2 - 7xy + 2y^2 - 6x + 5y - 12$ という式を因数分解することです。

指示として、$x^2 + 3x = A$ とおくことが与えられています。

2. 解き方の手順

まず、$6x^2 - 7xy + 2y^2$ の部分を因数分解します。

これは $(2x - y)(3x - 2y)$ となります。

元の式は、

$6x^2 - 7xy + 2y^2 - 6x + 5y - 12 = (2x-y)(3x-2y)-6x+5y-12$

と書き換えられます。

次に、与えられた条件 $A = x^2 + 3x$を利用するために、$6x^2 - 7xy + 2y^2 - 6x + 5y - 12$ を変形します。

$6x^2 - 7xy + 2y^2 - 6x + 5y - 12 = 2(x^2 + 3x) + 4x^2 - 7xy + 2y^2 - 12x + 5y - 12$

$=2A + 4x^2 - 7xy + 2y^2 - 12x + 5y - 12$

式全体を$x^2+3x = A$を用いて変形するのは難しいと判断し、式を因数分解することを目指します。

与えられた式を吟味すると、$x$と$y$の二次式であることから、因数分解した形が $(ax+by+c)(dx+ey+f)$になることを予想できます。

$6x^2-7xy+2y^2-6x+5y-12 = (2x-y+a)(3x-2y+b)$とおくと、

$6x^2 - 4xy + 2bx - 3xy + 2y^2 -by + 3ax - 2ay + ab$

$= 6x^2 -7xy + 2y^2 + (2b+3a)x + (-b-2a)y + ab$

$2b+3a = -6$

$-b-2a = 5$

これを解くと、$a=-3, b=1$

よって、$6x^2-7xy+2y^2-6x+5y-12 = (2x-y-3)(3x-2y+1)$

3. 最終的な答え

$(2x - y - 3)(3x - 2y + 1)$