数列$\{a_n\}$の初項から第$n$項までの和$S_n$が$S_n = n^2 - n + 1$で表されるとき、この数列の一般項$a_n$を求めよ。

はい、承知いたしました。それでは、問題7を解きます。

1. 問題の内容

数列$\{a_n\}$の初項から第$n$項までの和$S_n$が$S_n = n^2 - n + 1$で表されるとき、この数列の一般項$a_n$を求めよ。

2. 解き方の手順

$S_n$は数列$\{a_n\}$の初項から第$n$項までの和なので、

$S_n = a_1 + a_2 + ... + a_n$

である。

$a_n$を求めるためには、$S_n$と$S_{n-1}$の関係を利用する。

$n \geq 2$のとき、

$a_n = S_n - S_{n-1}$

また、$a_1 = S_1$である。

$S_n = n^2 - n + 1$より、

$S_{n-1} = (n-1)^2 - (n-1) + 1 = n^2 - 2n + 1 - n + 1 + 1 = n^2 - 3n + 3$

したがって、$n \geq 2$のとき、

$a_n = S_n - S_{n-1} = (n^2 - n + 1) - (n^2 - 3n + 3) = n^2 - n + 1 - n^2 + 3n - 3 = 2n - 2$

$n=1$のとき、$a_1 = S_1 = 1^2 - 1 + 1 = 1$

$a_n = 2n - 2$に$n=1$を代入すると、$a_1 = 2(1) - 2 = 0$となり、$a_1 = 1$と一致しない。

したがって、

$n=1$のとき、$a_1 = 1$

$n \geq 2$のとき、$a_n = 2n - 2$

3. 最終的な答え

$a_1 = 1$

$a_n = 2n - 2$ ($n \geq 2$)

または

$a_n = \begin{cases}

1 & (n=1) \\

2n-2 & (n \geq 2)

\end{cases}$