与えられた式 $\sqrt{16+6\sqrt{7}}$ を簡略化します。

1. 問題の内容

与えられた式 $\sqrt{16+6\sqrt{7}}$ を簡略化します。

2. 解き方の手順

根号の中の式 $16+6\sqrt{7}$ を $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$ の形に変形することを考えます。

まず、$6\sqrt{7}$ を $2ab$ と見なします。つまり、$2ab = 6\sqrt{7}$ となります。

これを $ab = 3\sqrt{7}$ と変形します。

$a$ と $b$ をそれぞれ $x$ と $\sqrt{7}y$ とおくと、 $x \cdot \sqrt{7}y = 3\sqrt{7}$ より $xy = 3$ となります。

次に、$a^2+b^2 = 16$ である必要があるので、$x^2 + (\sqrt{7}y)^2 = 16$ となります。これは、$x^2 + 7y^2 = 16$ を意味します。

$xy = 3$ より $x = \frac{3}{y}$ を $x^2 + 7y^2 = 16$ に代入すると、 $(\frac{3}{y})^2 + 7y^2 = 16$ となります。

$\frac{9}{y^2} + 7y^2 = 16$

両辺に $y^2$ をかけて、 $9 + 7y^4 = 16y^2$

$7y^4 - 16y^2 + 9 = 0$

ここで、$z=y^2$ とおくと、 $7z^2 - 16z + 9 = 0$

この二次方程式を解くと、

$z = \frac{16 \pm \sqrt{16^2 - 4 \cdot 7 \cdot 9}}{2 \cdot 7} = \frac{16 \pm \sqrt{256 - 252}}{14} = \frac{16 \pm \sqrt{4}}{14} = \frac{16 \pm 2}{14}$

$z = \frac{18}{14} = \frac{9}{7}$ または $z = \frac{14}{14} = 1$

$z=y^2$ なので、$y^2 = \frac{9}{7}$ または $y^2 = 1$

したがって、$y = \frac{3}{\sqrt{7}}$ または $y = 1$

$y = \frac{3}{\sqrt{7}}$ のとき $x = \frac{3}{y} = \frac{3}{\frac{3}{\sqrt{7}}} = \sqrt{7}$

$y = 1$ のとき $x = \frac{3}{y} = \frac{3}{1} = 3$

よって、$a = 3$, $b = \sqrt{7}$ のとき、$a^2+b^2 = 9+7 = 16$, $2ab = 2 \cdot 3 \cdot \sqrt{7} = 6\sqrt{7}$

したがって、$16+6\sqrt{7} = (3+\sqrt{7})^2$

$\sqrt{16+6\sqrt{7}} = \sqrt{(3+\sqrt{7})^2} = |3+\sqrt{7}| = 3+\sqrt{7}$

3. 最終的な答え

$3 + \sqrt{7}$