与えられた連立一次方程式を解き、解を「(定ベクトル) + (何本かのベクトルの, 係数が任意な線形和)」の形で表す。

1. 問題の内容

与えられた連立一次方程式を解き、解を「(定ベクトル) + (何本かのベクトルの, 係数が任意な線形和)」の形で表す。

2. 解き方の手順

(1)

解なし。式が与えられていないため、解が存在しない、もしくは解が無数に存在すると判断できる情報がないため、解は存在しない。

(2)

$0 = 0$という式は常に成り立つため、$x, y$は任意の値を取ることができる。つまり、$x = x, y = y$。よって、

$\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = x \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} + y \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix}$

(3)

$0 = 1$という式は矛盾しているため、解なし。

(4)

$x = 1$なので、$y$は任意の値を取ることができる。

$\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ y \end{pmatrix} = y \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}$

(5)

$x = x$なので、$x, y$は任意の値を取ることができる。つまり、$x = x, y = y$。よって、

$\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = x \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} + y \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix}$

(6)

$x = 2x$より、$x = 0$。$y$は任意の値を取ることができる。

$\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ y \end{pmatrix} = y \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix}$

(7)

$\begin{cases} x + 2y = 1 \\ -3x - 6y = -3 \end{cases}$

2番目の式は、最初の式を-3倍したものである。よって、この連立方程式は、$x + 2y = 1$という1つの式に帰着する。

$x = 1 - 2y$。

$\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 - 2y \\ y \end{pmatrix} = y \begin{pmatrix} -2 \\ 1 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}$

(8)

$\begin{cases} x + 2y = 1 \\ -3x - 6y = -2 \end{cases}$

2番目の式は、最初の式を-3倍すると$-3x - 6y = -3$となる。しかし、実際には$-3x - 6y = -2$なので、この連立方程式は矛盾しており、解なし。

(9)

$\begin{cases} x + 2y + 3z = -1 \\ 2x + 2z = 2 \\ -x + y = -2 \end{cases}$

拡大係数行列は

$\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & -1 \\ 2 & 0 & 2 & 2 \\ -1 & 1 & 0 & -2 \end{pmatrix}$

これを簡約化すると

$\begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & -1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$

$x + z = 1$より、$x = 1 - z$

$y + z = -1$より、$y = -1 - z$

$\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 - z \\ -1 - z \\ z \end{pmatrix} = z \begin{pmatrix} -1 \\ -1 \\ 1 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix}$

(10)

$\begin{cases} 4x - 8y + z + 5w = -2 \\ x - 2y + 2z + 3w = 3 \\ -3x + 6y + z - 2w = 5 \end{cases}$

拡大係数行列は

$\begin{pmatrix} 4 & -8 & 1 & 5 & -2 \\ 1 & -2 & 2 & 3 & 3 \\ -3 & 6 & 1 & -2 & 5 \end{pmatrix}$

これを簡約化すると

$\begin{pmatrix} 1 & -2 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 2 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$

$x - 2y + w = 1$より、$x = 2y - w + 1$

$z + 2w = 1$より、$z = -2w + 1$

$\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \\ w \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2y - w + 1 \\ y \\ -2w + 1 \\ w \end{pmatrix} = y \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + w \begin{pmatrix} -1 \\ 0 \\ -2 \\ 1 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}$

3. 最終的な答え

(1) 解なし

(2) $\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = x \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} + y \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix}$

(3) 解なし

(4) $\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = y \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}$

(5) $\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = x \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} + y \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix}$

(6) $\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = y \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix}$

(7) $\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = y \begin{pmatrix} -2 \\ 1 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}$

(8) 解なし

(9) $\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = z \begin{pmatrix} -1 \\ -1 \\ 1 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix}$

(10) $\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \\ w \end{pmatrix} = y \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + w \begin{pmatrix} -1 \\ 0 \\ -2 \\ 1 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}$