関数 $f(x) = x^2 - 6x + 12$ が $0 \le x \le a$ で定義されている。ここで、$a$ は正の定数である。 (1) $0 < a \le$ ア のとき、$f(x)$ の最大値は イ である。 (2) $a >$ ア のとき、$f(x)$ の最大値は ウ である。 上記のア、イ、ウを求める。

1. 問題の内容

関数 $f(x) = x^2 - 6x + 12$ が $0 \le x \le a$ で定義されている。ここで、$a$ は正の定数である。

(1) $0 < a \le$ ア のとき、$f(x)$ の最大値は イ である。

(2) $a >$ ア のとき、$f(x)$ の最大値は ウ である。

上記のア、イ、ウを求める。

2. 解き方の手順

まず、$f(x)$ を平方完成する。

$f(x) = x^2 - 6x + 12 = (x - 3)^2 - 9 + 12 = (x - 3)^2 + 3$

よって、$f(x)$ は $x = 3$ で最小値 3 をとる。

定義域 $0 \le x \le a$ における $f(x)$ の最大値を考える。

(1) $0 < a \le 3$ のとき、軸 $x=3$ が定義域の外にあるため、$x = 0$ で最大値をとる。

このとき、$f(0) = 0^2 - 6(0) + 12 = 12$ となる。

したがって、アは 3、イは 12 である。

(2) $a > 3$ のとき、軸 $x=3$ が定義域内にあるため、$f(x)$ の最大値は、$x=0$ または $x=a$ でとる。$f(0)=12$である。

$f(a) = a^2 - 6a + 12$

$f(a) - f(0) = a^2 - 6a + 12 - 12 = a^2 - 6a = a(a-6)$

$a>3$なので、$a(a-6)$の符号を調べる。

$3 < a < 6$ のとき、$a(a-6) < 0$ なので、$f(a) < f(0)$。

$a \ge 6$ のとき、$a(a-6) \ge 0$ なので、$f(a) \ge f(0)$。

ただし、この問題では$a >$ アのとき、最大値を求めればよいので、$a>3$ のとき、$f(0)=12$ と $f(a)$ を比較する。

$f(0) = 12$, $f(a)=a^2-6a+12$

$f(a)$は下に凸な放物線であり、$a=3$に関して対称である。

$x=0$から遠いほど値は大きくなるので、$a>3$の場合は、$x=a$が$x=0$よりも$x=3$から遠い場合である。

$f(0)=12$なので、最大値は、$f(0)=12$または$f(a)=a^2-6a+12$のいずれかである。

$a > 3$ のとき、$f(x)$ の最大値は $x=a$ における値 $f(a) = a^2 - 6a + 12$ である。

したがって、アは 3、ウは $a^2 - 6a + 12$ である。

3. 最終的な答え

ア: 3

イ: 12

ウ: $a^2 - 6a + 12$