次の不等式を解きます。 $\frac{x-1}{x^2-x-6} \ge \frac{1}{2}x - \frac{5}{4}$

1. 問題の内容

次の不等式を解きます。

$\frac{x-1}{x^2-x-6} \ge \frac{1}{2}x - \frac{5}{4}$

2. 解き方の手順

まず、与えられた不等式を変形します。

$\frac{x-1}{x^2-x-6} - \frac{1}{2}x + \frac{5}{4} \ge 0$

$x^2 - x - 6$を因数分解します。

$x^2 - x - 6 = (x-3)(x+2)$

したがって、

$\frac{x-1}{(x-3)(x+2)} - \frac{1}{2}x + \frac{5}{4} \ge 0$

通分するために、$\frac{x-1}{(x-3)(x+2)}$に$\frac{4}{4}$をかけ、$\frac{1}{2}x$に$\frac{2(x-3)(x+2)}{2(x-3)(x+2)}$をかけ、$\frac{5}{4}$に$\frac{(x-3)(x+2)}{(x-3)(x+2)}$をかける。

$\frac{4(x-1)}{4(x-3)(x+2)} - \frac{x \cdot 2(x-3)(x+2)}{4(x-3)(x+2)} + \frac{5(x-3)(x+2)}{4(x-3)(x+2)} \ge 0$

$\frac{4(x-1) - 2x(x-3)(x+2) + 5(x-3)(x+2)}{4(x-3)(x+2)} \ge 0$

分子を展開して整理します。

$4(x-1) = 4x - 4$

$-2x(x-3)(x+2) = -2x(x^2-x-6) = -2x^3 + 2x^2 + 12x$

$5(x-3)(x+2) = 5(x^2 - x - 6) = 5x^2 - 5x - 30$

分子は次のようになります。

$4x - 4 - 2x^3 + 2x^2 + 12x + 5x^2 - 5x - 30 = -2x^3 + 7x^2 + 11x - 34$

したがって、不等式は次のようになります。

$\frac{-2x^3 + 7x^2 + 11x - 34}{4(x-3)(x+2)} \ge 0$

$\frac{2x^3 - 7x^2 - 11x + 34}{4(x-3)(x+2)} \le 0$

$f(x) = 2x^3 - 7x^2 - 11x + 34$ とおくと、$f(2) = 16 - 28 - 22 + 34 = 0$.

したがって、$f(x)$ は $(x-2)$ で割り切れます。

実際に割ると、 $2x^3 - 7x^2 - 11x + 34 = (x-2)(2x^2 - 3x - 17)$.

よって、

$\frac{(x-2)(2x^2 - 3x - 17)}{4(x-3)(x+2)} \le 0$

$2x^2 - 3x - 17 = 0$ の解は、$x = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 4(2)(-17)}}{4} = \frac{3 \pm \sqrt{9 + 136}}{4} = \frac{3 \pm \sqrt{145}}{4}$

$x_1 = \frac{3 - \sqrt{145}}{4} \approx -2.26$

$x_2 = \frac{3 + \sqrt{145}}{4} \approx 3.76$

数直線を考えると、$x \in (-\infty, -2.26] \cup (-2, 2] \cup (3, 3.76]$.

3. 最終的な答え

$x \le \frac{3-\sqrt{145}}{4}$ または $-2 < x \le 2$ または $3 < x \le \frac{3+\sqrt{145}}{4}$

$x \in (-\infty, \frac{3-\sqrt{145}}{4}] \cup (-2, 2] \cup (3, \frac{3+\sqrt{145}}{4}]$