点$(p, q)$が曲線$y = \frac{3x-7}{x-2}$ (ただし、$x \neq 2$)上を動くとき、$\frac{q-4}{p-5}$ のとりうる値の範囲を $\frac{q-4}{p-5} \leq $ ①、$② \leq \frac{q-4}{p-5}$ の形で求め、①, ②に当てはまる数を求める。また、$\frac{q-4}{p-5} =$ ①、② となるときの $(p, q)$ の値の組を求める。

1. 問題の内容

点$(p, q)$が曲線$y = \frac{3x-7}{x-2}$ (ただし、$x \neq 2$)上を動くとき、$\frac{q-4}{p-5}$ のとりうる値の範囲を $\frac{q-4}{p-5} \leq$ ①、$② \leq \frac{q-4}{p-5}$ の形で求め、①, ②に当てはまる数を求める。また、$\frac{q-4}{p-5} =$ ①、② となるときの $(p, q)$ の値の組を求める。

2. 解き方の手順

まず、$q = \frac{3p-7}{p-2}$ である。よって、$\frac{q-4}{p-5} = \frac{\frac{3p-7}{p-2}-4}{p-5} = \frac{3p-7-4(p-2)}{(p-2)(p-5)} = \frac{3p-7-4p+8}{(p-2)(p-5)} = \frac{-p+1}{(p-2)(p-5)}$ となる。

次に、$\frac{-p+1}{(p-2)(p-5)} = k$ とおく。これを変形すると、$-p+1 = k(p^2 - 7p + 10)$、すなわち$kp^2 - (7k-1)p + (10k-1) = 0$ となる。

$p$は実数であるから、この$p$に関する二次方程式が実数解を持つためには判別式$D$が$D \geq 0$でなければならない。

$D = (7k-1)^2 - 4k(10k-1) = 49k^2 - 14k + 1 - 40k^2 + 4k = 9k^2 - 10k + 1 \geq 0$

$(9k-1)(k-1) \geq 0$

したがって、$k \leq \frac{1}{9}$ または $1 \leq k$ となる。

よって、$\frac{q-4}{p-5} \leq \frac{1}{9}$ または $1 \leq \frac{q-4}{p-5}$ となる。したがって、①=$\frac{1}{9}$、②=1となる。

$\frac{q-4}{p-5} = \frac{1}{9}$のとき、$\frac{-p+1}{(p-2)(p-5)} = \frac{1}{9}$より$9(-p+1) = (p-2)(p-5)$、つまり$9-9p=p^2-7p+10$から$p^2+2p+1=0$、$(p+1)^2=0$となる。

したがって、$p = -1$である。このとき、$q = \frac{3(-1)-7}{-1-2} = \frac{-10}{-3} = \frac{10}{3}$となる。

よって、$(p, q) = (-1, \frac{10}{3})$である。

$\frac{q-4}{p-5} = 1$のとき、$\frac{-p+1}{(p-2)(p-5)} = 1$より$-p+1 = (p-2)(p-5)$、つまり$-p+1=p^2-7p+10$から$p^2-6p+9=0$、$(p-3)^2=0$となる。

したがって、$p = 3$である。このとき、$q = \frac{3(3)-7}{3-2} = \frac{2}{1} = 2$となる。

よって、$(p, q) = (3, 2)$である。

3. 最終的な答え

$\frac{q-4}{p-5} \leq \frac{1}{9}$、 $1 \leq \frac{q-4}{p-5}$

①=$\frac{1}{9}$

②=1

$\frac{q-4}{p-5} = \frac{1}{9}$ となるときの $(p, q) = (-1, \frac{10}{3})$

$\frac{q-4}{p-5} = 1$ となるときの $(p, q) = (3, 2)$