与えられた行列$A$の逆行列$A^{-1}$を求め、連立方程式を解く問題です。 逆行列は $A^{-1} = \frac{1}{ad-bc} \begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix}$ で与えられています。また、連立方程式 $ax + by = p$ $cx + dy = q$ が与えられており、この解を$x, y$について求める必要があります。

1. 問題の内容

与えられた行列$A$の逆行列$A^{-1}$を求め、連立方程式を解く問題です。

逆行列は $A^{-1} = \frac{1}{ad-bc} \begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix}$ で与えられています。また、連立方程式

$ax + by = p$

$cx + dy = q$

が与えられており、この解を$x, y$について求める必要があります。

2. 解き方の手順

まず、与えられた連立方程式を行列で表現します。

$\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} p \\ q \end{pmatrix}$

ここで、行列$A$を

$A = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}$

とおくと、連立方程式は

$A \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} p \\ q \end{pmatrix}$

と書けます。

この両辺に$A^{-1}$を左からかけると、

$A^{-1} A \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = A^{-1} \begin{pmatrix} p \\ q \end{pmatrix}$

となり、

$\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = A^{-1} \begin{pmatrix} p \\ q \end{pmatrix}$

となります。

$A^{-1} = \frac{1}{ad-bc} \begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix}$

なので、

$\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \frac{1}{ad-bc} \begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix} \begin{pmatrix} p \\ q \end{pmatrix}$

これを計算すると、

$\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \frac{1}{ad-bc} \begin{pmatrix} dp - bq \\ -cp + aq \end{pmatrix}$

したがって、

$x = \frac{dp - bq}{ad-bc}$

$y = \frac{aq - cp}{ad-bc}$

3. 最終的な答え

$x = \frac{dp - bq}{ad-bc}$

$y = \frac{aq - cp}{ad-bc}$