問題は $x^3 + \frac{1}{x^3}$ を簡単にすることです。ただし、この問題だけではこれ以上簡単にはできません。問題文の意図が、例えば $x + \frac{1}{x}$ の値が与えられたときに、$x^3 + \frac{1}{x^3}$ を求めることであると仮定して、解き進めます。

1. 問題の内容

問題は $x^3 + \frac{1}{x^3}$ を簡単にすることです。ただし、この問題だけではこれ以上簡単にはできません。問題文の意図が、例えば $x + \frac{1}{x}$ の値が与えられたときに、$x^3 + \frac{1}{x^3}$ を求めることであると仮定して、解き進めます。

2. 解き方の手順

$x + \frac{1}{x} = a$ とおきます。両辺を3乗すると、

$$(x + \frac{1}{x})^3 = a^3$$

$$x^3 + 3x^2(\frac{1}{x}) + 3x(\frac{1}{x})^2 + \frac{1}{x^3} = a^3$$

$$x^3 + 3x + \frac{3}{x} + \frac{1}{x^3} = a^3$$

$$x^3 + \frac{1}{x^3} + 3(x + \frac{1}{x}) = a^3$$

$x + \frac{1}{x} = a$ を代入すると、

$$x^3 + \frac{1}{x^3} + 3a = a^3$$

したがって、

$$x^3 + \frac{1}{x^3} = a^3 - 3a$$

もし、$x + \frac{1}{x}$ の値が特定の値で与えられているなら、それを $a$ に代入して計算できます。与えられていない場合は、$x^3 + \frac{1}{x^3} = (x + \frac{1}{x})^3 - 3(x + \frac{1}{x})$ が答えになります。

3. 最終的な答え

$x + \frac{1}{x} = a$ のとき、 $x^3 + \frac{1}{x^3} = a^3 - 3a$ 。

もし、aの値が与えられていなければ、$x^3 + \frac{1}{x^3}$ はこれ以上簡単にはできません。