与えられた行列 $A = \begin{pmatrix} a & 1 \\ 0 & a \end{pmatrix}$ と $B = \begin{pmatrix} b & 0 \\ 1 & b \end{pmatrix}$ に対して、以下の問題を解く。 (1) $A$ の逆行列 $A^{-1}$ を求める。 (2) $B$ の逆行列 $B^{-1}$ を求める。 (3) $C = AB$ としたとき、$C$ が正則かどうか判定し、正則ならば $C^{-1}$ を求める。 (4) $D = A + B + E_2$ (ただし $E_2$ は2次単位行列) としたとき、$D$ が正則かどうか判定し、正則ならば $D^{-1}$ を求める。

1. 問題の内容

与えられた行列 $A = \begin{pmatrix} a & 1 \\ 0 & a \end{pmatrix}$ と $B = \begin{pmatrix} b & 0 \\ 1 & b \end{pmatrix}$ に対して、以下の問題を解く。

(1) $A$ の逆行列 $A^{-1}$ を求める。

(2) $B$ の逆行列 $B^{-1}$ を求める。

(3) $C = AB$ としたとき、$C$ が正則かどうか判定し、正則ならば $C^{-1}$ を求める。

(4) $D = A + B + E_2$ (ただし $E_2$ は2次単位行列) としたとき、$D$ が正則かどうか判定し、正則ならば $D^{-1}$ を求める。

2. 解き方の手順

(1) $A = \begin{pmatrix} a & 1 \\ 0 & a \end{pmatrix}$ の逆行列 $A^{-1}$ は、公式 $A^{-1} = \frac{1}{ad-bc} \begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix}$ より、

$A^{-1} = \frac{1}{a^2 - 0} \begin{pmatrix} a & -1 \\ 0 & a \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{1}{a} & -\frac{1}{a^2} \\ 0 & \frac{1}{a} \end{pmatrix}$.

したがって、選択肢2が正しい。

(2) $B = \begin{pmatrix} b & 0 \\ 1 & b \end{pmatrix}$ の逆行列 $B^{-1}$ は、公式 $B^{-1} = \frac{1}{ad-bc} \begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix}$ より、

$B^{-1} = \frac{1}{b^2 - 0} \begin{pmatrix} b & 0 \\ -1 & b \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{1}{b} & 0 \\ -\frac{1}{b^2} & \frac{1}{b} \end{pmatrix}$.

したがって、選択肢1が正しい。

(3) $C = AB = \begin{pmatrix} a & 1 \\ 0 & a \end{pmatrix} \begin{pmatrix} b & 0 \\ 1 & b \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} ab+1 & b \\ a & ab \end{pmatrix}$.

$C$ の行列式は、$\det(C) = (ab+1)(ab) - ba = a^2b^2 + ab - ab = a^2b^2$.

$a>0$ かつ $b>0$ より $a^2b^2 > 0$ であるから、$C$ は正則である。

$C^{-1} = \frac{1}{a^2b^2} \begin{pmatrix} ab & -b \\ -a & ab+1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{1}{ab} & -\frac{1}{a^2b} \\ -\frac{1}{ab^2} & \frac{ab+1}{a^2b^2} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{1}{ab} & -\frac{1}{a^2b} \\ -\frac{1}{ab^2} & \frac{1}{ab} + \frac{1}{a^2b^2} \end{pmatrix}$.

選択肢3が正しい。

(4) $D = A + B + E_2 = \begin{pmatrix} a & 1 \\ 0 & a \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} b & 0 \\ 1 & b \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a+b+1 & 1 \\ 1 & a+b+1 \end{pmatrix}$.

$D$ の行列式は、$\det(D) = (a+b+1)^2 - 1 = (a+b+1-1)(a+b+1+1) = (a+b)(a+b+2)$.

$a>0$ かつ $b>0$ より $(a+b)(a+b+2) > 0$ であるから、$D$ は正則である。

$D^{-1} = \frac{1}{(a+b)(a+b+2)} \begin{pmatrix} a+b+1 & -1 \\ -1 & a+b+1 \end{pmatrix}$.

したがって、選択肢3が正しい。

3. 最終的な答え

(1) 2

(2) 1

(3) 3

(4) 3