次の和 $S$ を求めます。 $S = 1 \cdot 1 + 3 \cdot 3 + 5 \cdot 3^2 + \dots + (2n-1) \cdot 3^{n-1}$

1. 問題の内容

次の和 $S$ を求めます。

$S = 1 \cdot 1 + 3 \cdot 3 + 5 \cdot 3^2 + \dots + (2n-1) \cdot 3^{n-1}$

2. 解き方の手順

$S = \sum_{k=1}^{n} (2k-1)3^{k-1}$ を計算します。

まず、$3S$ を計算します。

$3S = \sum_{k=1}^{n} (2k-1)3^{k}$

$3S = 1 \cdot 3 + 3 \cdot 3^2 + 5 \cdot 3^3 + \dots + (2(n-1)-1) \cdot 3^{n-1} + (2n-1) \cdot 3^{n}$

次に、$S - 3S$ を計算します。

$-2S = \sum_{k=1}^{n} (2k-1)3^{k-1} - \sum_{k=1}^{n} (2k-1)3^{k}$

$-2S = 1 \cdot 1 + \sum_{k=2}^{n} (2k-1)3^{k-1} - \sum_{k=1}^{n-1} (2k-1)3^{k} - (2n-1) \cdot 3^{n}$

$-2S = 1 + \sum_{k=1}^{n-1} (2(k+1)-1)3^{k} - \sum_{k=1}^{n-1} (2k-1)3^{k} - (2n-1) \cdot 3^{n}$

$-2S = 1 + \sum_{k=1}^{n-1} (2k+1)3^{k} - \sum_{k=1}^{n-1} (2k-1)3^{k} - (2n-1) \cdot 3^{n}$

$-2S = 1 + \sum_{k=1}^{n-1} ((2k+1) - (2k-1))3^{k} - (2n-1) \cdot 3^{n}$

$-2S = 1 + \sum_{k=1}^{n-1} 2 \cdot 3^{k} - (2n-1) \cdot 3^{n}$

$-2S = 1 + 2 \sum_{k=1}^{n-1} 3^{k} - (2n-1) \cdot 3^{n}$

等比数列の和の公式を用いると、$\sum_{k=1}^{n-1} 3^{k} = \frac{3(3^{n-1}-1)}{3-1} = \frac{3^n - 3}{2}$ となります。

$-2S = 1 + 2 \cdot \frac{3^n - 3}{2} - (2n-1) \cdot 3^{n}$

$-2S = 1 + 3^n - 3 - (2n-1) \cdot 3^{n}$

$-2S = 3^n - 2 - (2n-1) \cdot 3^{n}$

$-2S = 3^n(1 - 2n + 1) - 2$

$-2S = 3^n(2 - 2n) - 2$

$-2S = 2(1-n)3^n - 2$

$S = (n-1)3^n + 1$

3. 最終的な答え

$S = (n-1)3^n + 1$