写像 $f: X \to Y$、および $X$ の部分集合 $A, B$ と、$Y$ の部分集合 $C, D$ について、以下の命題が正しければ証明し、正しくない場合は反例を挙げます。 (1) $f$ が全射ならば、$f(A) \subset f(B) \implies A \subset B$. (2) $f$ が単射ならば、$f(A) \subset f(B) \implies A \subset B$. (3) $f$ が全射ならば、$f^{-1}(C) \subset f^{-1}(D) \implies C \subset D$. (4) $f$ が単射ならば、$f^{-1}(C) \subset f^{-1}(D) \implies C \subset D$.

1. 問題の内容

写像 $f: X \to Y$、および $X$ の部分集合 $A, B$ と、$Y$ の部分集合 $C, D$ について、以下の命題が正しければ証明し、正しくない場合は反例を挙げます。

(1) $f$ が全射ならば、$f(A) \subset f(B) \implies A \subset B$.

(2) $f$ が単射ならば、$f(A) \subset f(B) \implies A \subset B$.

(3) $f$ が全射ならば、$f^{-1}(C) \subset f^{-1}(D) \implies C \subset D$.

(4) $f$ が単射ならば、$f^{-1}(C) \subset f^{-1}(D) \implies C \subset D$.

2. 解き方の手順

(1) 反例を挙げます。

$X = \{1, 2\}$, $Y = \{3\}$, $A = \{1\}$, $B = \{2\}$ とし、$f(1) = f(2) = 3$ と定義します。

このとき、$f$ は全射です。

$f(A) = \{3\}$, $f(B) = \{3\}$ より $f(A) \subset f(B)$ が成り立ちますが、$A \not\subset B$ です。

したがって、命題は正しくありません。

(2) 証明します。

$f$ が単射であり、$f(A) \subset f(B)$ とします。

$x \in A$ を任意にとると、$f(x) \in f(A)$ です。

$f(A) \subset f(B)$ より、$f(x) \in f(B)$ です。

したがって、$f(x) = f(b)$ となる $b \in B$ が存在します。

$f$ は単射なので、$x = b$ です。

$b \in B$ より、$x \in B$ です。

よって、$A \subset B$ が成り立ちます。

(3) 反例を挙げます。

$X = \{1\}$, $Y = \{2, 3\}$, $C = \{2\}$, $D = \{3\}$ とし、$f(1) = 2$ と定義します。

このとき、$f$ は全射ではありません。なぜなら、$3 \in Y$ に対して、$f(x) = 3$ となる $x \in X$ が存在しないからです。しかし、この問題では全射の場合について考えているので、全射の反例にはなりません。

$X = \{1,2\}, Y=\{3\}, C = \{3\}, D = \emptyset$ とし、$f(1)=3, f(2)=3$と定義します。

$f$ は全射です。

$f^{-1}(C) = \{1,2\}, f^{-1}(D) = \emptyset$となり、$f^{-1}(C) \subset f^{-1}(D)$は成り立ちません。

しかし、仮定である$f^{-1}(C) \subset f^{-1}(D)$を満たさないので、反例にはなりません。

では、$f: X \to Y$ が全射、$f^{-1}(C) \subset f^{-1}(D)$ を仮定して、$C \subset D$ を示します。

$y \in C$ を任意にとります。

$f$ は全射なので、$f(x) = y$ となる $x \in X$ が存在します。

このとき、$y \in C$ より $x \in f^{-1}(C)$ です。

$f^{-1}(C) \subset f^{-1}(D)$ より $x \in f^{-1}(D)$ です。

したがって、$f(x) \in D$、つまり $y \in D$ です。

よって、$C \subset D$ が成り立ちます。

(4) 反例を挙げます。

$X = \{1\}$, $Y = \{2, 3\}$, $C = \{2\}$, $D = \{3\}$ とし、$f(1) = 2$ と定義します。

$f$ は単射です。

$f^{-1}(C) = \{1\}$, $f^{-1}(D) = \emptyset$ より、$f^{-1}(C) \not\subset f^{-1}(D)$ です。

この例は、$f^{-1}(C) \subset f^{-1}(D)$ を満たさないので反例とはなりません。

$f^{-1}(C) \subset f^{-1}(D)$ を仮定して、$C \subset D$ を示します。

$f$ が単射で、$f^{-1}(C) \subset f^{-1}(D)$ と仮定します。

$y \in C$ を任意にとると、$f^{-1}(\{y\})$ が存在するかどうかで場合分けします。

もし、$f^{-1}(\{y\}) = \emptyset$ なら、$y \notin f(X)$ となり、$f$ が全射ではないことになりますが、$f$ が単射であることとは矛盾しません。

$f^{-1}(y)$ が存在すると仮定します。$x = f^{-1}(y)$ とすると、$f(x)=y$です。$y \in C$なので、$x \in f^{-1}(C)$。したがって、$x \in f^{-1}(D)$なので、$y = f(x) \in D$です。よって、$C \subset D$が成立します。

もし$f^{-1}(C) = \emptyset$ なら、$C = \emptyset$なので、$C \subset D$は常に成立します。

3. 最終的な答え

(1) 正しくない。反例: $X = \{1, 2\}$, $Y = \{3\}$, $A = \{1\}$, $B = \{2\}$, $f(1) = f(2) = 3$.

(2) 正しい。

(3) 正しい。

(4) 正しい。