任意の実数 $x$ に対して、2次不等式 $x^2 + (m-5)x + 1 \ge 0$ が成り立つような定数 $m$ の値の範囲を求める問題です。

1. 問題の内容

任意の実数 $x$ に対して、2次不等式 $x^2 + (m-5)x + 1 \ge 0$ が成り立つような定数 $m$ の値の範囲を求める問題です。

2. 解き方の手順

2次不等式 $ax^2 + bx + c \ge 0$ がすべての実数 $x$ で成り立つ条件は、$a > 0$ かつ判別式 $D = b^2 - 4ac \le 0$ であることです。

この問題では、$a = 1$, $b = m-5$, $c = 1$ です。

まず、$a = 1 > 0$ なので、条件を満たしています。

次に、判別式 $D$ を計算します。

$D = (m-5)^2 - 4(1)(1) = (m-5)^2 - 4$

$D \le 0$ となるためには、

$(m-5)^2 - 4 \le 0$

$(m-5)^2 \le 4$

$-2 \le m-5 \le 2$

$3 \le m \le 7$

3. 最終的な答え

$3 \le m \le 7$