与えられた式 $ \frac{1}{1+(\sqrt{3}-2)^2} $ を計算して簡略化します。

1. 問題の内容

与えられた式 $\frac{1}{1+(\sqrt{3}-2)^2}$ を計算して簡略化します。

2. 解き方の手順

まず、$(\sqrt{3}-2)^2$ を展開します。

$(\sqrt{3}-2)^2 = (\sqrt{3})^2 - 2 \cdot \sqrt{3} \cdot 2 + 2^2 = 3 - 4\sqrt{3} + 4 = 7 - 4\sqrt{3}$

次に、分母の $1+(\sqrt{3}-2)^2$ を計算します。

$1 + (\sqrt{3}-2)^2 = 1 + (7 - 4\sqrt{3}) = 8 - 4\sqrt{3}$

したがって、与えられた式は $\frac{1}{8 - 4\sqrt{3}}$ となります。

分母を有理化するために、$8+4\sqrt{3}$ を分子と分母に掛けます。

$\frac{1}{8 - 4\sqrt{3}} = \frac{1}{8 - 4\sqrt{3}} \cdot \frac{8 + 4\sqrt{3}}{8 + 4\sqrt{3}} = \frac{8 + 4\sqrt{3}}{(8 - 4\sqrt{3})(8 + 4\sqrt{3})}$

分母を展開します。

$(8 - 4\sqrt{3})(8 + 4\sqrt{3}) = 8^2 - (4\sqrt{3})^2 = 64 - 16 \cdot 3 = 64 - 48 = 16$

したがって、

$\frac{8 + 4\sqrt{3}}{16} = \frac{4(2 + \sqrt{3})}{16} = \frac{2 + \sqrt{3}}{4}$

3. 最終的な答え

$\frac{2 + \sqrt{3}}{4}$