$(a+b+c)^6$ の展開式における異なる項の数を求める。

1. 問題の内容

$(a+b+c)^6$ の展開式における異なる項の数を求める。

2. 解き方の手順

$(a+b+c)^6$ の展開式における一般項は $ka^lb^mc^n$ の形で表され、ここで $k$ は定数、$l, m, n$ は非負の整数であり、$l+m+n = 6$ を満たします。

したがって、異なる項の数は、$l+m+n = 6$ を満たす非負の整数の組 $(l, m, n)$ の個数に等しくなります。

これは、6個の同じもの（例えば、ボール）を3つの異なる箱（$a, b, c$ の指数）に入れる場合の数と同じです。

これは、重複組合せの問題として知られており、${}_n H_r = {}_{n+r-1} C_r$ で計算できます。

この場合、$n = 3$ (変数 $a, b, c$) であり、$r = 6$ (指数の和) です。

したがって、異なる項の数は ${}_3 H_6 = {}_{3+6-1} C_6 = {}_8 C_6$ となります。

${}_8 C_6 = \frac{8!}{6!(8-6)!} = \frac{8!}{6!2!} = \frac{8 \times 7}{2 \times 1} = \frac{56}{2} = 28$。

3. 最終的な答え

28