与えられた数列の和 $S$ を求める問題です。数列は以下の通りです。 $S = 1 + 4x + 7x^2 + 10x^3 + \dots + (3n-2)x^{n-1}$

1. 問題の内容

与えられた数列の和 $S$ を求める問題です。数列は以下の通りです。

$S = 1 + 4x + 7x^2 + 10x^3 + \dots + (3n-2)x^{n-1}$

2. 解き方の手順

まず、$S$ を書き下します。

$S = 1 + 4x + 7x^2 + 10x^3 + \dots + (3n-2)x^{n-1}$

次に、$xS$ を書き下します。

$xS = x + 4x^2 + 7x^3 + 10x^4 + \dots + (3n-2)x^{n}$

$S$ から $xS$ を引きます。

$S - xS = (1 + 4x + 7x^2 + 10x^3 + \dots + (3n-2)x^{n-1}) - (x + 4x^2 + 7x^3 + 10x^4 + \dots + (3n-2)x^{n})$

$S(1-x) = 1 + 3x + 3x^2 + 3x^3 + \dots + 3x^{n-1} - (3n-2)x^{n}$

$S(1-x) = 1 + 3(x + x^2 + x^3 + \dots + x^{n-1}) - (3n-2)x^{n}$

等比数列の和の公式を用いて、括弧の中を計算します。

$x + x^2 + x^3 + \dots + x^{n-1} = \frac{x(1-x^{n-1})}{1-x}$

これを $S(1-x)$ の式に代入します。

$S(1-x) = 1 + 3\frac{x(1-x^{n-1})}{1-x} - (3n-2)x^{n}$

$S(1-x) = \frac{1-x+3x(1-x^{n-1})-(3n-2)x^{n}(1-x)}{1-x}$

$S(1-x) = \frac{1-x+3x-3x^{n}-(3n-2)x^{n}+(3n-2)x^{n+1}}{1-x}$

$S(1-x) = \frac{1+2x-3x^{n}-3nx^{n}+2x^{n}+3nx^{n+1}-2x^{n+1}}{1-x}$

$S(1-x) = \frac{1+2x-x^{n}-3nx^{n}+3nx^{n+1}-2x^{n+1}}{1-x}$

$S = \frac{1+2x-x^{n}-3nx^{n}+3nx^{n+1}-2x^{n+1}}{(1-x)^{2}}$

3. 最終的な答え

$S = \frac{1+2x-x^{n}-3nx^{n}+3nx^{n+1}-2x^{n+1}}{(1-x)^{2}}$

あるいは

$S = \frac{1+2x-(3n-2)x^n + (3n-2)x^{n+1}-2x^{n+1}}{(1-x)^{2}}$