実数 $x$ が $x + \frac{1}{x} = \sqrt{6}$ を満たすとき、以下の値を求めます。ただし、$x > 1$ とします。 (1) $x^2 + \frac{1}{x^2}$ (2) $(x - \frac{1}{x})^2$ と $x - \frac{1}{x}$ (3) $x^3 - \frac{1}{x^3}$ (4) $2x^4 + \frac{2}{x^4}$ (5) $x^5 - \frac{1}{x^5}$

はい、承知いたしました。問題文を読み解き、各問いに答えます。

1. 問題の内容

実数 $x$ が $x + \frac{1}{x} = \sqrt{6}$ を満たすとき、以下の値を求めます。ただし、$x > 1$ とします。

(1) $x^2 + \frac{1}{x^2}$

(2) $(x - \frac{1}{x})^2$ と $x - \frac{1}{x}$

(3) $x^3 - \frac{1}{x^3}$

(4) $2x^4 + \frac{2}{x^4}$

(5) $x^5 - \frac{1}{x^5}$

2. 解き方の手順

(1) $x^2 + \frac{1}{x^2}$ の値を求める。

与えられた式 $x + \frac{1}{x} = \sqrt{6}$ を2乗します。

$(x + \frac{1}{x})^2 = (\sqrt{6})^2$

$x^2 + 2 \cdot x \cdot \frac{1}{x} + \frac{1}{x^2} = 6$

$x^2 + 2 + \frac{1}{x^2} = 6$

$x^2 + \frac{1}{x^2} = 6 - 2 = 4$

(2) $(x - \frac{1}{x})^2$ と $x - \frac{1}{x}$ の値を求める。

$(x - \frac{1}{x})^2 = x^2 - 2 + \frac{1}{x^2}$

(1)より $x^2 + \frac{1}{x^2} = 4$ なので、

$(x - \frac{1}{x})^2 = 4 - 2 = 2$

$x > 1$ より $x - \frac{1}{x} > 0$ なので、$x - \frac{1}{x} = \sqrt{2}$

(3) $x^3 - \frac{1}{x^3}$ の値を求める。

$x^3 - \frac{1}{x^3} = (x - \frac{1}{x})(x^2 + x \cdot \frac{1}{x} + \frac{1}{x^2})$

$x^3 - \frac{1}{x^3} = (x - \frac{1}{x})(x^2 + 1 + \frac{1}{x^2})$

(1)より $x^2 + \frac{1}{x^2} = 4$、(2)より $x - \frac{1}{x} = \sqrt{2}$ なので、

$x^3 - \frac{1}{x^3} = \sqrt{2} (4 + 1) = 5\sqrt{2}$

(4) $2x^4 + \frac{2}{x^4}$ の値を求める。

$x^4 + \frac{1}{x^4} = (x^2 + \frac{1}{x^2})^2 - 2$

(1)より $x^2 + \frac{1}{x^2} = 4$ なので、

$x^4 + \frac{1}{x^4} = 4^2 - 2 = 16 - 2 = 14$

よって、$2x^4 + \frac{2}{x^4} = 2(x^4 + \frac{1}{x^4}) = 2 \cdot 14 = 28$

(5) $x^5 - \frac{1}{x^5}$ の値を求める。

$x^5 - \frac{1}{x^5} = (x^2 + \frac{1}{x^2})(x^3 - \frac{1}{x^3}) - (x - \frac{1}{x})$

(1)より $x^2 + \frac{1}{x^2} = 4$、(3)より $x^3 - \frac{1}{x^3} = 5\sqrt{2}$、(2)より $x - \frac{1}{x} = \sqrt{2}$ なので、

$x^5 - \frac{1}{x^5} = 4 \cdot 5\sqrt{2} - \sqrt{2} = 20\sqrt{2} - \sqrt{2} = 19\sqrt{2}$

3. 最終的な答え

(1) $x^2 + \frac{1}{x^2} = 4$

(2) $(x - \frac{1}{x})^2 = 2$, $x - \frac{1}{x} = \sqrt{2}$

(3) $x^3 - \frac{1}{x^3} = 5\sqrt{2}$

(4) $2x^4 + \frac{2}{x^4} = 28$

(5) $x^5 - \frac{1}{x^5} = 19\sqrt{2}$