与えられた式 $x^2 + xy - 2x - 3y - 3$ を因数分解する。

1. 問題の内容

与えられた式 $x^2 + xy - 2x - 3y - 3$ を因数分解する。

2. 解き方の手順

与えられた式を因数分解するために、項をグループ化して共通因子をくくり出すことを試みます。

まず、$x$ を含む項と $y$ を含む項をまとめます。

$x^2 + xy - 2x - 3y - 3 = (x^2 + xy - 2x) - (3y + 3)$

次に、$x$ を含む項から $x$ をくくり出します。

$x(x+y-2) - 3(y+1)$

このままでは因数分解が進まないので、別のグループ化を試みます。

$x^2 + xy - 2x - 3y - 3 = x^2 - 2x + xy - 3y - 3$

ここで、$x^2 - 2x$ に何かを足して平方の形にすることを考えます。$(x-1)^2 = x^2 - 2x + 1$ なので、$x^2 - 2x = (x-1)^2 - 1$

与式に代入すると、

$(x-1)^2 - 1 + xy - 3y - 3 = (x-1)^2 + xy - 3y - 4$

ここからもうまく因数分解できなさそうです。最初のGroupingを少し変えてみましょう。

$x^2 + xy - 2x - 3y - 3 = (x^2 - 2x - 3) + (xy - 3y)$

$x^2 - 2x - 3 = (x-3)(x+1)$

$xy - 3y = y(x-3)$

従って、

$(x-3)(x+1) + y(x-3)$

$(x-3)(x+1+y)$

3. 最終的な答え

$(x-3)(x+y+1)$