与えられた式 $x^4 - 7x^2 + 9$ を因数分解せよ。

1. 問題の内容

与えられた式 $x^4 - 7x^2 + 9$ を因数分解せよ。

2. 解き方の手順

与えられた式は $x^4$ と $x^2$ の項だけからなるため、複二次式と呼ばれる形をしています。複二次式は、$x^2 = X$ などと置き換えることで二次式に変形し、因数分解できる場合があります。しかし、この問題ではそのままでは因数分解できません。そこで、$x^4 + 6x^2 + 9$ という平方の形を作り、余分な項を引くことで因数分解を行います。

まず、$x^4 + 6x^2 + 9$ を作ります。これは $(x^2 + 3)^2$ となります。

元の式 $x^4 - 7x^2 + 9$ に $(6x^2 + 9)$ を足して $(x^2 + 3)^2$ にするためには、$13x^2$ を足しています。

つまり、$x^4 - 7x^2 + 9 = (x^2 + 3)^2 - 13x^2$ と変形できます。

$(x^2+3)^2 -13x^2$ は、二乗の差の形にできません。しかし、$(x^2 + 3)^2$ に $-13x^2$ を足す代わりに $-x^2$ を足すと $x^4+6x^2+9 - x^2 = x^4+5x^2+9$ になりますが、これは因数分解できません。

代わりに、$x^4 - 7x^2 + 9$ を $x^4 + 6x^2 + 9 - 13x^2$ と考えます。

ここで、 $x^4 - 7x^2 + 9$ を $x^4 + 6x^2 + 9 - 13x^2$ ではなく、平方の差の形を利用するために、$x^4 + 6x^2 + 9$ の $6x^2$ を調整して $-7x^2$ と同じにするには $-13x^2$ が必要です。

$(x^2 + 3)^2 = x^4 + 6x^2 + 9$ であり、$x^4 - 7x^2 + 9$ との差は $-13x^2$ です。

そこで、$x^4 + ax^2 + 9$ の形で、$a x^2$ がうまく平方の差になるように $a$ を探します。

$x^4 - 7x^2 + 9 = (x^2 + 3)^2 - 13x^2 = (x^2 + 3)^2 - (\sqrt{13}x)^2$

これは平方の差の形ですが、$\sqrt{13}$ があるので、他の平方の形を探します。

$x^4 - 7x^2 + 9 = (x^2 + a)^2 + bx^2 = x^4 + 2ax^2 + a^2 + bx^2$

$2a + b = -7$ かつ $a^2 = 9$ となる $a$ と $b$ を見つける。

$a = 3$ のとき、$6 + b = -7$ より $b = -13$

$a = -3$ のとき、$-6 + b = -7$ より $b = -1$

したがって、$x^4 - 7x^2 + 9 = (x^2 - 3)^2 - x^2 = (x^2 - 3 - x)(x^2 - 3 + x)$

$= (x^2 - x - 3)(x^2 + x - 3)$

3. 最終的な答え

$(x^2 + x - 3)(x^2 - x - 3)$