次の数列の第 $n$ 項 $a_n$ と、初項から第 $n$ 項までの和 $S_n$ を求めます。 (1) $1, 1+3, 1+3+9, 1+3+9+27, \dots$ (2) $2, 2+5, 2+5+8, 2+5+8+11, \dots$

1. 問題の内容

次の数列の第 $n$ 項 $a_n$ と、初項から第 $n$ 項までの和 $S_n$ を求めます。

(1) $1, 1+3, 1+3+9, 1+3+9+27, \dots$

(2) $2, 2+5, 2+5+8, 2+5+8+11, \dots$

2. 解き方の手順

(1)

この数列の第 $n$ 項 $a_n$ は、初項が 1、公比が 3 の等比数列の初項から第 $n$ 項までの和である。したがって、

$a_n = \frac{1(3^n - 1)}{3-1} = \frac{3^n - 1}{2}$

数列の和 $S_n$ は、

$S_n = \sum_{k=1}^{n} a_k = \sum_{k=1}^{n} \frac{3^k - 1}{2} = \frac{1}{2} \sum_{k=1}^{n} (3^k - 1)$

$= \frac{1}{2} (\sum_{k=1}^{n} 3^k - \sum_{k=1}^{n} 1) = \frac{1}{2} (\frac{3(3^n - 1)}{3-1} - n)$

$= \frac{1}{2} (\frac{3^{n+1} - 3}{2} - n) = \frac{3^{n+1} - 3 - 2n}{4}$

(2)

この数列の第 $n$ 項 $a_n$ は、初項が 2、公差が 3 の等差数列の初項から第 $n$ 項までの和である。したがって、

$a_n = \sum_{k=1}^{n} (3k - 1) = 3 \sum_{k=1}^{n} k - \sum_{k=1}^{n} 1 = 3 \frac{n(n+1)}{2} - n$

$= \frac{3n^2 + 3n - 2n}{2} = \frac{3n^2 + n}{2}$

数列の和 $S_n$ は、

$S_n = \sum_{k=1}^{n} a_k = \sum_{k=1}^{n} \frac{3k^2 + k}{2} = \frac{1}{2} \sum_{k=1}^{n} (3k^2 + k)$

$= \frac{1}{2} (3 \sum_{k=1}^{n} k^2 + \sum_{k=1}^{n} k) = \frac{1}{2} (3 \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} + \frac{n(n+1)}{2})$

$= \frac{1}{2} (\frac{n(n+1)(2n+1)}{2} + \frac{n(n+1)}{2}) = \frac{n(n+1)(2n+1) + n(n+1)}{4}$

$= \frac{n(n+1)(2n+1+1)}{4} = \frac{n(n+1)(2n+2)}{4} = \frac{2n(n+1)(n+1)}{4} = \frac{n(n+1)^2}{2}$

3. 最終的な答え

(1) $a_n = \frac{3^n - 1}{2}$, $S_n = \frac{3^{n+1} - 2n - 3}{4}$

(2) $a_n = \frac{3n^2+n}{2}$, $S_n = \frac{n(n+1)^2}{2}$