与えられた連立一次方程式 $Ax = b$ を解く問題です。ここで、$A$ は4x4の行列であり、$x$ と $b$ は4x1のベクトルです。 $ A = \begin{pmatrix} 1 & 3 & 3 & 1 \\ 3 & 10 & 11 & 4 \\ 3 & 11 & 14 & 6 \\ 1 & 4 & 6 & 3 \end{pmatrix} $ $ x = \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ x_4 \end{pmatrix} $ $ b = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} $

1. 問題の内容

与えられた連立一次方程式 $Ax = b$ を解く問題です。ここで、$A$ は4x4の行列であり、$x$ と $b$ は4x1のベクトルです。

$A = \begin{pmatrix} 1 & 3 & 3 & 1 \\ 3 & 10 & 11 & 4 \\ 3 & 11 & 14 & 6 \\ 1 & 4 & 6 & 3 \end{pmatrix}$

$x = \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ x_4 \end{pmatrix}$

$b = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}$

2. 解き方の手順

連立一次方程式 $Ax = b$ を解くために、ガウスの消去法を用います。拡大係数行列 $[A|b]$ を作成し、行基本変形を行って階段行列に変形させます。

$[A|b] = \begin{pmatrix} 1 & 3 & 3 & 1 & | & 1 \\ 3 & 10 & 11 & 4 & | & 1 \\ 3 & 11 & 14 & 6 & | & 1 \\ 1 & 4 & 6 & 3 & | & 1 \end{pmatrix}$

まず、2行目から1行目の3倍を引きます ($R_2 \rightarrow R_2 - 3R_1$)。

3行目から1行目の3倍を引きます ($R_3 \rightarrow R_3 - 3R_1$)。

4行目から1行目を引きます ($R_4 \rightarrow R_4 - R_1$)。

$\begin{pmatrix} 1 & 3 & 3 & 1 & | & 1 \\ 0 & 1 & 2 & 1 & | & -2 \\ 0 & 2 & 5 & 3 & | & -2 \\ 0 & 1 & 3 & 2 & | & 0 \end{pmatrix}$

次に、3行目から2行目の2倍を引きます ($R_3 \rightarrow R_3 - 2R_2$)。

4行目から2行目を引きます ($R_4 \rightarrow R_4 - R_2$)。

$\begin{pmatrix} 1 & 3 & 3 & 1 & | & 1 \\ 0 & 1 & 2 & 1 & | & -2 \\ 0 & 0 & 1 & 1 & | & 2 \\ 0 & 0 & 1 & 1 & | & 2 \end{pmatrix}$

最後に、4行目から3行目を引きます ($R_4 \rightarrow R_4 - R_3$)。

$\begin{pmatrix} 1 & 3 & 3 & 1 & | & 1 \\ 0 & 1 & 2 & 1 & | & -2 \\ 0 & 0 & 1 & 1 & | & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & | & 0 \end{pmatrix}$

階段行列になったので、後退代入を行います。

$x_3 + x_4 = 2$ より $x_3 = 2 - x_4$

$x_2 + 2x_3 + x_4 = -2$ より $x_2 = -2 - 2(2-x_4) - x_4 = -6 + x_4$

$x_1 + 3x_2 + 3x_3 + x_4 = 1$ より $x_1 = 1 - 3(-6+x_4) - 3(2-x_4) - x_4 = 1 - (-18+3x_4) - (6-3x_4) - x_4 = 13 - x_4$

したがって、解は

$x_1 = 13 - x_4$

$x_2 = -6 + x_4$

$x_3 = 2 - x_4$

$x_4 = x_4$ (任意)

3. 最終的な答え

解は $x = \begin{pmatrix} 13 - x_4 \\ -6 + x_4 \\ 2 - x_4 \\ x_4 \end{pmatrix}$ ( $x_4$ は任意の実数)