第10項が24、第30項が64である等差数列において、初項から第何項までの和が初めて100より大きくなるかを求める問題です。

1. 問題の内容

第10項が24、第30項が64である等差数列において、初項から第何項までの和が初めて100より大きくなるかを求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、等差数列の一般項を $a_n = a + (n-1)d$ とします。ここで、$a$ は初項、$d$ は公差です。問題文より、以下の2つの式が成り立ちます。

$a_{10} = a + 9d = 24$

$a_{30} = a + 29d = 64$

これらの連立方程式を解いて、$a$ と $d$ を求めます。

2つの式を引き算すると

$20d = 40$

$d = 2$

これを $a + 9d = 24$ に代入すると

$a + 9(2) = 24$

$a + 18 = 24$

$a = 6$

したがって、初項 $a = 6$、公差 $d = 2$ であることがわかりました。

次に、等差数列の和の公式を $S_n = \frac{n}{2}(2a + (n-1)d)$ とします。

問題文より、$S_n > 100$ となる最小の $n$ を求めれば良いので、

$\frac{n}{2}(2(6) + (n-1)2) > 100$

$n(12 + 2n - 2) > 200$

$n(10 + 2n) > 200$

$10n + 2n^2 > 200$

$2n^2 + 10n - 200 > 0$

$n^2 + 5n - 100 > 0$

この不等式を解くために、$n^2 + 5n - 100 = 0$ の解を求めます。

$n = \frac{-5 \pm \sqrt{5^2 - 4(1)(-100)}}{2(1)}$

$n = \frac{-5 \pm \sqrt{25 + 400}}{2}$

$n = \frac{-5 \pm \sqrt{425}}{2}$

$n = \frac{-5 \pm 5\sqrt{17}}{2}$

$n$ は正の整数なので、$n > \frac{-5 + 5\sqrt{17}}{2} \approx \frac{-5 + 5(4.123)}{2} \approx \frac{-5 + 20.615}{2} \approx \frac{15.615}{2} \approx 7.8075$

$n$ は整数なので、$n \geq 8$ である必要があります。

$n=7$の時、$S_7 = \frac{7}{2}(2(6)+(7-1)(2)) = \frac{7}{2}(12+12) = 7(12) = 84 < 100$

$n=8$の時、$S_8 = \frac{8}{2}(2(6)+(8-1)(2)) = 4(12+14) = 4(26) = 104 > 100$

したがって、初項から第8項までの和が初めて100より大きくなります。

3. 最終的な答え

8項