与えられた式 $(x^2 + 2x)(x^2 + 2x - 4) + 3$ を展開し、整理して簡単にせよ。

1. 問題の内容

与えられた式 $(x^2 + 2x)(x^2 + 2x - 4) + 3$ を展開し、整理して簡単にせよ。

2. 解き方の手順

$x^2 + 2x$ を $A$ と置くと、与えられた式は $A(A-4) + 3$ となる。

これを展開すると、

$A(A-4) + 3 = A^2 - 4A + 3$ となる。

さらに因数分解すると、

$A^2 - 4A + 3 = (A-1)(A-3)$ となる。

ここで、$A = x^2 + 2x$ を代入すると、

$(A-1)(A-3) = (x^2 + 2x - 1)(x^2 + 2x - 3)$ となる。

さらに、$x^2 + 2x - 3$ を因数分解すると、

$x^2 + 2x - 3 = (x+3)(x-1)$ となる。

したがって、

$(x^2 + 2x - 1)(x^2 + 2x - 3) = (x^2 + 2x - 1)(x+3)(x-1)$ となる。

$A^2 - 4A + 3$ まで展開した時点で$A$をもとに戻すと

$(x^2+2x)^2 - 4(x^2+2x) + 3 = (x^4 + 4x^3 + 4x^2) - (4x^2 + 8x) + 3 = x^4 + 4x^3 - 8x + 3$

最終的に $(x^2 + 2x - 1)(x+3)(x-1)$ を展開すると

$(x^2 + 2x - 1)(x^2 + 2x - 3) = x^4 + 2x^3 - 3x^2 + 2x^3 + 4x^2 - 6x - x^2 - 2x + 3 = x^4 + 4x^3 - 8x + 3$

3. 最終的な答え

$x^4 + 4x^3 - 8x + 3$