$(x+3)^4$ の展開式における $x^2$ の項の係数を求めよ。

1. 問題の内容

$(x+3)^4$ の展開式における $x^2$ の項の係数を求めよ。

2. 解き方の手順

二項定理を用いる。二項定理より、

$(x+3)^4 = \sum_{k=0}^4 \binom{4}{k} x^k 3^{4-k}$

である。$x^2$ の項の係数を求めるので、$k=2$ のときを考える。

$x^2$ の項は、

$\binom{4}{2} x^2 3^{4-2} = \binom{4}{2} x^2 3^2$

となる。

ここで、$\binom{4}{2}$ は、

$\binom{4}{2} = \frac{4!}{2!(4-2)!} = \frac{4!}{2!2!} = \frac{4 \times 3 \times 2 \times 1}{(2 \times 1)(2 \times 1)} = \frac{24}{4} = 6$

である。

したがって、$x^2$ の項は、

$6 x^2 3^2 = 6 x^2 \times 9 = 54 x^2$

となる。よって、$x^2$ の項の係数は $54$ である。

3. 最終的な答え

54