与えられた4次式 $x^4 + 3x^2 + 4$ を因数分解する。

1. 問題の内容

与えられた4次式 $x^4 + 3x^2 + 4$ を因数分解する。

2. 解き方の手順

与えられた式を平方完成に近い形に変形し、さらに因数分解を行う。

まず、$x^4 + 3x^2 + 4$ に $x^2$ を足して引き、平方の差を作ることを試みる。

$x^4 + 3x^2 + 4 = x^4 + 4x^2 + 4 - x^2 = (x^2+2)^2 - x^2$

ここで、平方の差の公式 $a^2 - b^2 = (a+b)(a-b)$ を用いる。

$(x^2+2)^2 - x^2 = (x^2+2+x)(x^2+2-x)$

整理して、

$(x^2+x+2)(x^2-x+2)$

それぞれの2次式がさらに因数分解できるかを確認する。判別式を計算する。

$x^2+x+2$ の判別式は $1^2 - 4\cdot1\cdot2 = 1-8 = -7 < 0$ なので、実数の範囲では因数分解できない。

$x^2-x+2$ の判別式は $(-1)^2 - 4\cdot1\cdot2 = 1-8 = -7 < 0$ なので、実数の範囲では因数分解できない。

したがって、$x^4 + 3x^2 + 4 = (x^2+x+2)(x^2-x+2)$ が最終的な因数分解の結果となる。

3. 最終的な答え

$(x^2+x+2)(x^2-x+2)$