2次関数 $y = f(x) = 2x^2 - 2ax - 3$ の区間 $-5 \le x \le -1$ における最大値を $M(a)$、最小値を $m(a)$ とします。$b = M(a)$ と $b = m(a)$ のグラフを同一平面上に描画しなさい。

1. 問題の内容

2次関数 $y = f(x) = 2x^2 - 2ax - 3$ の区間 $-5 \le x \le -1$ における最大値を $M(a)$、最小値を $m(a)$ とします。$b = M(a)$ と $b = m(a)$ のグラフを同一平面上に描画しなさい。

2. 解き方の手順

まず、与えられた2次関数を平方完成します。

$f(x) = 2x^2 - 2ax - 3 = 2(x^2 - ax) - 3 = 2\left(x - \frac{a}{2}\right)^2 - 2\left(\frac{a}{2}\right)^2 - 3 = 2\left(x - \frac{a}{2}\right)^2 - \frac{a^2}{2} - 3$

よって、軸は $x = \frac{a}{2}$ です。

区間 $-5 \le x \le -1$ における最大値 $M(a)$ と最小値 $m(a)$ を考えます。

(i) $\frac{a}{2} < -5$ つまり $a < -10$ のとき、区間内で $f(x)$ は減少関数なので、

$M(a) = f(-5) = 2(-5)^2 - 2a(-5) - 3 = 50 + 10a - 3 = 10a + 47$

$m(a) = f(-1) = 2(-1)^2 - 2a(-1) - 3 = 2 + 2a - 3 = 2a - 1$

(ii) $-5 \le \frac{a}{2} \le -1$ つまり $-10 \le a \le -2$ のとき、

$m(a) = f\left(\frac{a}{2}\right) = -\frac{a^2}{2} - 3$

このとき、$x=-5$ と $x=-1$ のどちらで最大値をとるかで場合分けが必要です。

$\frac{a}{2}$ が区間の中央の値$\frac{-5 + (-1)}{2} = -3$ より小さいか大きいかで決まります。

$\frac{a}{2} < -3 \Leftrightarrow a < -6$ のとき、$M(a) = f(-1) = 2a - 1$

$-3 \le \frac{a}{2} \Leftrightarrow -6 \le a$ のとき、$M(a) = f(-5) = 10a + 47$

したがって、$-10 \le a < -6$ のとき、$M(a) = 2a - 1$ であり、$-6 \le a \le -2$のとき、$M(a) = 10a + 47$ となります。

(iii) $\frac{a}{2} > -1$ つまり $a > -2$ のとき、区間内で $f(x)$ は増加関数なので、

$M(a) = f(-1) = 2a - 1$

$m(a) = f(-5) = 10a + 47$

以上をまとめると、

$M(a) = \begin{cases}

10a + 47 & (a \le -6) \\

2a - 1 & (a > -6)

\end{cases}$

$m(a) = \begin{cases}

2a - 1 & (a < -10) \\

-\frac{a^2}{2} - 3 & (-10 \le a \le -2) \\

10a + 47 & (a > -2)

\end{cases}$

したがって、$b=M(a)$ のグラフは、$a \le -6$ で直線 $b = 10a + 47$、$a > -6$ で直線 $b = 2a - 1$ となる折れ線です。

$b=m(a)$ のグラフは、$a < -10$ で直線 $b = 2a - 1$、$-10 \le a \le -2$ で放物線 $b = -\frac{a^2}{2} - 3$、$a > -2$ で直線 $b = 10a + 47$ となるグラフです。

3. 最終的な答え

$M(a) = \begin{cases}

10a + 47 & (a \le -6) \\

2a - 1 & (a > -6)

\end{cases}$

$m(a) = \begin{cases}

2a - 1 & (a < -10) \\

-\frac{a^2}{2} - 3 & (-10 \le a \le -2) \\

10a + 47 & (a > -2)

\end{cases}$

これらのグラフを同一平面上に描画する必要があります。

(ここではグラフを描画する機能がないため、数式による表現で終わります。)