与えられた不等式を証明し、等号が成立する条件を求める問題です。今回は、(4) $2x^2 + 3y^2 \ge 4xy$ を解きます。

1. 問題の内容

与えられた不等式を証明し、等号が成立する条件を求める問題です。今回は、(4) $2x^2 + 3y^2 \ge 4xy$ を解きます。

2. 解き方の手順

不等式の証明は、左辺から右辺を引いたものが0以上であることを示すことで行います。

まず、$2x^2 + 3y^2 - 4xy$ を計算します。

$2x^2 + 3y^2 - 4xy = 2x^2 - 4xy + 2y^2 + y^2 = 2(x^2 - 2xy + y^2) + y^2 = 2(x-y)^2 + y^2$

ここで、$2(x-y)^2 \ge 0$ であり、$y^2 \ge 0$ であるため、$2(x-y)^2 + y^2 \ge 0$ が成り立ちます。

したがって、$2x^2 + 3y^2 - 4xy \ge 0$ が証明されました。

等号が成立するのは、$2(x-y)^2 + y^2 = 0$ のときです。

$(x-y)^2 \ge 0$ かつ $y^2 \ge 0$ なので、これが成り立つためには、同時に $x-y = 0$ かつ $y = 0$ である必要があります。

したがって、$x = y = 0$ が等号成立条件です。

3. 最終的な答え

不等式 $2x^2 + 3y^2 \ge 4xy$ は証明されました。

等号が成立するのは、$x = y = 0$ のときです。