第2項が6、初項から第3項までの和が21である等比数列の初項と公比を求める。

1. 問題の内容

第2項が6、初項から第3項までの和が21である等比数列の初項と公比を求める。

2. 解き方の手順

等比数列の初項を$a$、公比を$r$とすると、第2項は$ar$、初項から第3項までの和は$a+ar+ar^2$と表せる。問題文より、以下の2つの式が成り立つ。

$ar = 6$

$a + ar + ar^2 = 21$

1つ目の式から、$a = \frac{6}{r}$となる。これを2つ目の式に代入すると、

$\frac{6}{r} + 6 + 6r = 21$

両辺に$r$を掛けて整理すると、

$6 + 6r + 6r^2 = 21r$

$6r^2 - 15r + 6 = 0$

両辺を3で割ると、

$2r^2 - 5r + 2 = 0$

これを因数分解すると、

$(2r - 1)(r - 2) = 0$

よって、$r = \frac{1}{2}$または$r = 2$となる。

(i) $r = \frac{1}{2}$のとき、 $a = \frac{6}{r} = \frac{6}{\frac{1}{2}} = 12$

(ii) $r = 2$のとき、$a = \frac{6}{r} = \frac{6}{2} = 3$

3. 最終的な答え

(初項, 公比) = (12, 1/2), (3, 2)