不等式 $10x^2 - 6xy + y^2 \geq 0$ を示す問題です。

1. 問題の内容

不等式 $10x^2 - 6xy + y^2 \geq 0$ を示す問題です。

2. 解き方の手順

この不等式を示すために、平方完成を利用します。

まず、$x$ について整理します。

$10x^2 - 6xy + y^2 = 10(x^2 - \frac{3}{5}xy) + y^2$

次に、括弧の中を平方完成します。

$10(x^2 - \frac{3}{5}xy + (\frac{3}{10}y)^2 - (\frac{3}{10}y)^2) + y^2$

$10(x - \frac{3}{10}y)^2 - 10(\frac{9}{100}y^2) + y^2$

$10(x - \frac{3}{10}y)^2 - \frac{9}{10}y^2 + y^2$

$10(x - \frac{3}{10}y)^2 + \frac{1}{10}y^2$

ここで、$10(x - \frac{3}{10}y)^2 \geq 0$ であり、 $\frac{1}{10}y^2 \geq 0$ であるから、

$10(x - \frac{3}{10}y)^2 + \frac{1}{10}y^2 \geq 0$

よって、$10x^2 - 6xy + y^2 \geq 0$ が成り立ちます。

3. 最終的な答え

$10x^2 - 6xy + y^2 \geq 0$ が示された。