与えられた式 $4x^4 + 32xy^3$ を因数分解します。

1. 問題の内容

与えられた式 $4x^4 + 32xy^3$ を因数分解します。

2. 解き方の手順

まず、共通因数 $4x$ でくくります。

$4x^4 + 32xy^3 = 4x(x^3 + 8y^3)$

次に、$x^3 + 8y^3$ を因数分解します。$8y^3$は $(2y)^3$ と書けるので、$x^3 + (2y)^3$ のように見ることができます。これは、$a^3 + b^3 = (a+b)(a^2 - ab + b^2)$ という公式を利用して因数分解できます。

$x^3 + (2y)^3 = (x+2y)(x^2 - x(2y) + (2y)^2) = (x+2y)(x^2 - 2xy + 4y^2)$

したがって、

$4x(x^3 + 8y^3) = 4x(x+2y)(x^2 - 2xy + 4y^2)$

3. 最終的な答え

$4x(x+2y)(x^2-2xy+4y^2)$