与えられた不等式を証明し、等号が成立する条件を求める問題です。今回は、(4) $2x^2 + 3y^2 \ge 4xy$ と (5) $10x^2 - 6xy + y^2 \ge 0$ を解きます。

## 不等式の証明問題

1. 問題の内容

与えられた不等式を証明し、等号が成立する条件を求める問題です。今回は、(4) $2x^2 + 3y^2 \ge 4xy$ と (5) $10x^2 - 6xy + y^2 \ge 0$ を解きます。

2. 解き方の手順

(4) $2x^2 + 3y^2 \ge 4xy$ の証明

まず、$2x^2 + 3y^2 - 4xy \ge 0$ を示すことを目指します。

$2x^2 + 3y^2 - 4xy = 2x^2 - 4xy + 2y^2 + y^2$

$= 2(x^2 - 2xy + y^2) + y^2$

$= 2(x - y)^2 + y^2$

ここで、$2(x - y)^2 \ge 0$ かつ $y^2 \ge 0$ であるから、$2(x - y)^2 + y^2 \ge 0$ が成り立ちます。

したがって、$2x^2 + 3y^2 \ge 4xy$ が証明されました。

等号が成立するのは、$2(x - y)^2 = 0$ かつ $y^2 = 0$ のときです。

すなわち、$x - y = 0$ かつ $y = 0$。

これより、$x = 0$ かつ $y = 0$ のとき等号が成立します。

(5) $10x^2 - 6xy + y^2 \ge 0$ の証明

$10x^2 - 6xy + y^2 = 10(x^2 - \frac{3}{5}xy) + y^2$

$= 10(x^2 - \frac{3}{5}xy + (\frac{3}{10}y)^2) - 10(\frac{3}{10}y)^2 + y^2$

$= 10(x - \frac{3}{10}y)^2 - \frac{9}{10}y^2 + y^2$

$= 10(x - \frac{3}{10}y)^2 + \frac{1}{10}y^2$

ここで、$10(x - \frac{3}{10}y)^2 \ge 0$ かつ $\frac{1}{10}y^2 \ge 0$ であるから、$10(x - \frac{3}{10}y)^2 + \frac{1}{10}y^2 \ge 0$ が成り立ちます。

したがって、$10x^2 - 6xy + y^2 \ge 0$ が証明されました。

等号が成立するのは、$10(x - \frac{3}{10}y)^2 = 0$ かつ $\frac{1}{10}y^2 = 0$ のときです。

すなわち、$x - \frac{3}{10}y = 0$ かつ $y = 0$。

これより、$x = 0$ かつ $y = 0$ のとき等号が成立します。

3. 最終的な答え

(4) 不等式 $2x^2 + 3y^2 \ge 4xy$ は証明された。等号が成立するのは $x = 0$ かつ $y = 0$ のとき。

(5) 不等式 $10x^2 - 6xy + y^2 \ge 0$ は証明された。等号が成立するのは $x = 0$ かつ $y = 0$ のとき。