与えられた式 $a^2(b-c) + b^2(c-a) + c^2(a-b)$ を因数分解する。

1. 問題の内容

与えられた式 $a^2(b-c) + b^2(c-a) + c^2(a-b)$ を因数分解する。

2. 解き方の手順

与えられた式を展開し、整理してから因数分解を行います。

まず、式を展開します。

$a^2(b-c) + b^2(c-a) + c^2(a-b) = a^2b - a^2c + b^2c - ab^2 + c^2a - bc^2$

次に、式を $a$ について整理します。

$a^2b - a^2c + b^2c - ab^2 + c^2a - bc^2 = (b-c)a^2 + (c^2-b^2)a + (b^2c - bc^2)$

$= (b-c)a^2 - (b^2-c^2)a + bc(b-c)$

$= (b-c)a^2 - (b+c)(b-c)a + bc(b-c)$

$(b-c)$ でくくり出す。

$(b-c)a^2 - (b+c)(b-c)a + bc(b-c) = (b-c)(a^2 - (b+c)a + bc)$

$= (b-c)(a^2 - ba - ca + bc)$

$(a^2 - ba - ca + bc)$ を因数分解する。

$a^2 - ba - ca + bc = a(a-b) - c(a-b) = (a-b)(a-c)$

したがって、

$(b-c)(a^2 - (b+c)a + bc) = (b-c)(a-b)(a-c)$

$= -(a-b)(b-c)(c-a)$

3. 最終的な答え

与えられた式を因数分解すると、$-(a-b)(b-c)(c-a)$ となります。

または $(a-b)(b-c)(c-a)$ に-1を掛けたものです。

$a^2(b-c) + b^2(c-a) + c^2(a-b) = -(a-b)(b-c)(c-a)$

あるいは

$a^2(b-c) + b^2(c-a) + c^2(a-b) = (a-b)(b-c)(c-a) (-1)$

したがって

$a^2(b-c) + b^2(c-a) + c^2(a-b) = -(a-b)(b-c)(c-a)$

最終的な答え：

$-(a-b)(b-c)(c-a)$