(1) 集合 $A$, $B$, $C$ が与えられています。 $A = \{x | -3 \le x \le 2\}$, $B = \{x | 2x - 8 > 0\}$, $C = \{x | -2 < x < 5\}$. 次の集合を求めます。 (ア) $\overline{B}$, (イ) $A \cap B$, (ウ) $B \cup C$. (2) 集合 $A$, $B$ が与えられています。 $A = \{x | -2 \le x \le 3\}$, $B = \{x | k - 6 \le x \le k\}$, ただし、$k$ は定数です。 $A \subset B$ となる $k$ の値の範囲を求めます。

はい、承知いたしました。問題を解いていきます。

1. 問題の内容

(1) 集合 $A$, $B$, $C$ が与えられています。

$A = \{x | -3 \le x \le 2\}$,

$B = \{x | 2x - 8 > 0\}$,

$C = \{x | -2 < x < 5\}$.

次の集合を求めます。

(ア) $\overline{B}$, (イ) $A \cap B$, (ウ) $B \cup C$.

(2) 集合 $A$, $B$ が与えられています。

$A = \{x | -2 \le x \le 3\}$,

$B = \{x | k - 6 \le x \le k\}$,

ただし、$k$ は定数です。

$A \subset B$ となる $k$ の値の範囲を求めます。

2. 解き方の手順

(1)

(ア) まず、$B$ を求めます。$2x - 8 > 0$ より、$2x > 8$, よって、$x > 4$.

したがって、$B = \{x | x > 4\}$.

$\overline{B}$ は $B$ の補集合なので、$\overline{B} = \{x | x \le 4\}$.

(イ) $A \cap B$ を求めます。$A = \{x | -3 \le x \le 2\}$ であり、$B = \{x | x > 4\}$ です。

$A$ と $B$ の共通部分は存在しないので、$A \cap B = \emptyset$（空集合）となります。

(ウ) $B \cup C$ を求めます。$B = \{x | x > 4\}$ であり、$C = \{x | -2 < x < 5\}$ です。

$B$ と $C$ の和集合は、$x > 4$ または $-2 < x < 5$ を満たす $x$ の集合です。

したがって、$B \cup C = \{x | x > -2\}$.

(2)

$A \subset B$ となる $k$ の範囲を求めます。

$A = \{x | -2 \le x \le 3\}$ であり、$B = \{x | k - 6 \le x \le k\}$ です。

$A \subset B$ であるためには、すべての $x \in A$ に対して $x \in B$ である必要があります。

つまり、$-2 \le x \le 3$ ならば $k - 6 \le x \le k$ が成り立つ必要があります。

これは、$k - 6 \le -2$ かつ $3 \le k$ であることと同値です。

$k - 6 \le -2$ より、$k \le 4$.

$3 \le k$ より、$k \ge 3$.

したがって、$3 \le k \le 4$ が求める $k$ の範囲です。

3. 最終的な答え

(1)

(ア) $\overline{B} = \{x | x \le 4\}$

(イ) $A \cap B = \emptyset$

(ウ) $B \cup C = \{x | x > -2\}$

(2) $3 \le k \le 4$