与えられた式 $(x^2 - 2x - 3)(x^2 + 2x - 3)$ を展開して、最も簡単な形に整理せよ。

1. 問題の内容

与えられた式 $(x^2 - 2x - 3)(x^2 + 2x - 3)$ を展開して、最も簡単な形に整理せよ。

2. 解き方の手順

まず、$A = x^2 - 3$ とおく。すると、与えられた式は

$(x^2 - 2x - 3)(x^2 + 2x - 3) = (A - 2x)(A + 2x)$

と書き換えられる。

次に、和と差の積の公式 $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$ を用いて、上記の式を展開する。

$(A - 2x)(A + 2x) = A^2 - (2x)^2 = A^2 - 4x^2$

ここで、$A = x^2 - 3$ を代入する。

$A^2 - 4x^2 = (x^2 - 3)^2 - 4x^2$

$(x^2 - 3)^2$ を展開する。

$(x^2 - 3)^2 = (x^2)^2 - 2(x^2)(3) + 3^2 = x^4 - 6x^2 + 9$

したがって、

$(x^2 - 3)^2 - 4x^2 = x^4 - 6x^2 + 9 - 4x^2$

$x^4 - 6x^2 + 9 - 4x^2 = x^4 - 10x^2 + 9$

3. 最終的な答え

$x^4 - 10x^2 + 9$