問題は次の2つの式を計算することです。 (1) $(\sqrt{2} + \sqrt{3} + \sqrt{5})^2$ (2) $(\sqrt{2} + \sqrt{3} - \sqrt{5})(\sqrt{2} - \sqrt{3} + \sqrt{5})$

はい、承知しました。

1. 問題の内容

問題は次の2つの式を計算することです。

(1) $(\sqrt{2} + \sqrt{3} + \sqrt{5})^2$

(2) $(\sqrt{2} + \sqrt{3} - \sqrt{5})(\sqrt{2} - \sqrt{3} + \sqrt{5})$

2. 解き方の手順

(1) $(\sqrt{2} + \sqrt{3} + \sqrt{5})^2$を展開します。

$(\sqrt{2} + \sqrt{3} + \sqrt{5})^2 = (\sqrt{2} + \sqrt{3} + \sqrt{5})(\sqrt{2} + \sqrt{3} + \sqrt{5})$

$= (\sqrt{2})^2 + (\sqrt{3})^2 + (\sqrt{5})^2 + 2\sqrt{2}\sqrt{3} + 2\sqrt{2}\sqrt{5} + 2\sqrt{3}\sqrt{5}$

$= 2 + 3 + 5 + 2\sqrt{6} + 2\sqrt{10} + 2\sqrt{15}$

$= 10 + 2\sqrt{6} + 2\sqrt{10} + 2\sqrt{15}$

(2) $(\sqrt{2} + \sqrt{3} - \sqrt{5})(\sqrt{2} - \sqrt{3} + \sqrt{5})$を変形します。

$(\sqrt{2} + \sqrt{3} - \sqrt{5})(\sqrt{2} - \sqrt{3} + \sqrt{5}) = (\sqrt{2} + (\sqrt{3} - \sqrt{5}))(\sqrt{2} - (\sqrt{3} - \sqrt{5}))$

これは和と差の積の形 $(a+b)(a-b) = a^2 - b^2$を利用できます。

$= (\sqrt{2})^2 - (\sqrt{3} - \sqrt{5})^2$

$= 2 - ((\sqrt{3})^2 - 2\sqrt{3}\sqrt{5} + (\sqrt{5})^2)$

$= 2 - (3 - 2\sqrt{15} + 5)$

$= 2 - (8 - 2\sqrt{15})$

$= 2 - 8 + 2\sqrt{15}$

$= -6 + 2\sqrt{15}$

3. 最終的な答え

(1) $10 + 2\sqrt{6} + 2\sqrt{10} + 2\sqrt{15}$

(2) $-6 + 2\sqrt{15}$