## 1. 問題の内容

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1. 問題の内容

2つの問題があります。

**問題1**

集合 $A = \{1, 3, 3a-2\}$、集合 $B = \{-5, a+2, a^2-2a+1\}$ が与えられ、共通部分 $A \cap B = \{1, 4\}$ であるとき、定数 $a$ の値と和集合 $A \cup B$ を求める。

**問題2**

集合 $A = \{a-1, 4, a^2-5a+6\}$、集合 $B = \{1, a^2-4, a^2-7a+12, 4\}$ が与えられ、共通部分 $A \cap B = \{0, 4\}$ であるとき、$a$ の値を求める。

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2. 解き方の手順

**問題1**

1. $A \cap B = \{1, 4\}$ より、集合A, B は共に 1 と 4 を要素として持つ。

2. 集合 A は 1 を要素に持っているので、$3a-2 = 4$ を解く。

$3a - 2 = 4$

$3a = 6$

$a = 2$

3. $a=2$ のとき、$B = \{-5, 4, 1\}$ となる。これは $A \cap B = \{1, 4\}$ を満たす。

4. $a=2$ のとき、$A = \{1, 3, 4\}$、$B = \{-5, 4, 1\}$ となる。

5. したがって、$A \cup B = \{1, 3, 4, -5\}$

**問題2**

1. $A \cap B = \{0, 4\}$ より、集合A, B は共に 0 と 4 を要素として持つ。

2. 集合 A は 4 を要素として持っているので、$a-1=0$または、$a^2-5a+6=0$のいずれかが成り立つ。

* $a-1 = 0$ の場合、$a = 1$。このとき、$A = \{0, 4, 2\}$、$B = \{1, -3, 6, 4\}$。 $A \cap B = \{4\}$ となり、条件 $A \cap B = \{0, 4\}$ を満たさない。

* $a^2 - 5a + 6 = 0$ の場合、$(a-2)(a-3) = 0$ より $a = 2$ または $a = 3$。

* $a = 2$ のとき、$A = \{1, 4, 0\}$、$B = \{1, 0, -2, 4\}$。 $A \cap B = \{0, 1, 4\}$ となり、条件 $A \cap B = \{0, 4\}$ を満たさない。

* $a = 3$ のとき、$A = \{2, 4, 0\}$、$B = \{1, 5, -3, 4\}$。 $A \cap B = \{4\}$ となり、条件 $A \cap B = \{0, 4\}$ を満たさない。

3. 集合 B は 4 を要素に持つので、$a^2-4=0$ または $a^2-7a+12=0$

* $a^2-4=0$を解くと$a = \pm 2$.

* $a^2-7a+12=0$を解くと$(a-3)(a-4)=0$よって、$a=3, 4$

4. よって$a$の候補は$2, -2, 3, 4$

* $a=2$のとき $A = \{1, 4, 0\}$, $B = \{1, 0, -2, 4\}$. $A \cap B = \{0, 1, 4\}$. よって、$a=2$は不適。

* $a=-2$のとき $A = \{-3, 4, 20\}$, $B = \{1, 0, 30, 4\}$. $A \cap B = \{4\}$. よって、$a=-2$は不適。

* $a=3$のとき $A = \{2, 4, 0\}$, $B = \{1, 5, -3, 4\}$. $A \cap B = \{4\}$. よって、$a=3$は不適。

* $a=4$のとき $A = \{3, 4, -2\}$, $B = \{1, 12, 0, 4\}$. もし、$A\cap B = \{0,4\}$ならば$3, -2$のどちらかは$0$である必要がある。しかしそうではないので矛盾。

したがって、$a-1 = 0$のケースと、$a^2-5a+6=0$のケースを両方考慮したが、$A\cap B = \{0,4\}$となるような$a$は存在しない。

しかし問題文をよく見ると$a$の候補の一つ、$a=2$において、$a-1 = 1$, $a^2-5a+6 = 0$なので、集合$A$は$\{1, 4, 0\}$となり、$B = \{1, 0, -2, 4\}$なので、$A\cap B = \{0, 1, 4\}$なので条件に矛盾する。

$a-1 = 0$の場合、$a = 1$。$A = \{0, 4, 2\}$、$B = \{1, -3, 6, 4\}$。$A \cap B = \{4\}$. これは条件を満たさない。

$a^2-5a+6 = 0$より、$a=2, 3$。

もし$a=2$であれば、$A = \{1, 4, 0\}$, $B = \{1, 0, -2, 4\}$. $A\cap B = \{0, 1, 4\}$. これは$A\cap B = \{0, 4\}$を満たさない。

もし$a=3$であれば、$A = \{2, 4, 0\}$, $B = \{1, 5, -3, 4\}$. $A\cap B = \{4\}$. これは$A\cap B = \{0, 4\}$を満たさない。

したがって、$a^2-4 = 0$または$a^2-7a+12 = 0$のどちらかを検討すればよい。

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3. 最終的な答え

**問題1**

$a = 2$

$A \cup B = \{-5, 1, 3, 4\}$

**問題2**

該当する $a$ の値は存在しない。