与えられた2つの式を展開する問題です。 (1) $(x^2 + xy + y^2)(x^2 - xy + y^2)(x^4 - x^2y^2 + y^4)$ (2) $(x+y+1)(x+y-1)(x-y+1)(x-y-1)$

1. 問題の内容

与えられた2つの式を展開する問題です。

(1) $(x^2 + xy + y^2)(x^2 - xy + y^2)(x^4 - x^2y^2 + y^4)$

(2) $(x+y+1)(x+y-1)(x-y+1)(x-y-1)$

2. 解き方の手順

(1)

最初の2つの括弧を展開します。

$(x^2 + xy + y^2)(x^2 - xy + y^2) = ((x^2+y^2) + xy)((x^2+y^2) - xy) = (x^2+y^2)^2 - (xy)^2 = x^4 + 2x^2y^2 + y^4 - x^2y^2 = x^4 + x^2y^2 + y^4$

次に、展開した結果と最後の括弧を掛け合わせます。

$(x^4 + x^2y^2 + y^4)(x^4 - x^2y^2 + y^4) = ((x^4+y^4) + x^2y^2)((x^4+y^4) - x^2y^2) = (x^4+y^4)^2 - (x^2y^2)^2 = x^8 + 2x^4y^4 + y^8 - x^4y^4 = x^8 + x^4y^4 + y^8$

(2)

$(x+y+1)(x+y-1) = (x+y)^2 - 1^2 = x^2 + 2xy + y^2 - 1$

$(x-y+1)(x-y-1) = (x-y)^2 - 1^2 = x^2 - 2xy + y^2 - 1$

次に、展開した結果を掛け合わせます。

$(x^2 + 2xy + y^2 - 1)(x^2 - 2xy + y^2 - 1) = ((x^2+y^2-1)+2xy)((x^2+y^2-1)-2xy) = (x^2+y^2-1)^2 - (2xy)^2 = (x^2+y^2-1)^2 - 4x^2y^2 = (x^2+y^2)^2 - 2(x^2+y^2) + 1 - 4x^2y^2 = x^4 + 2x^2y^2 + y^4 - 2x^2 - 2y^2 + 1 - 4x^2y^2 = x^4 - 2x^2y^2 + y^4 - 2x^2 - 2y^2 + 1 = (x^2 - y^2)^2 - 2(x^2 + y^2) + 1$

3. 最終的な答え

(1) $x^8 + x^4y^4 + y^8$

(2) $x^4 - 2x^2y^2 + y^4 - 2x^2 - 2y^2 + 1$