$x^3 + y^3$ を計算する問題です。ただし、$x = \frac{7 + 3\sqrt{5}}{-2}$ および $y = \frac{7 - 3\sqrt{5}}{2}$ です。

1. 問題の内容

$x^3 + y^3$ を計算する問題です。ただし、$x = \frac{7 + 3\sqrt{5}}{-2}$ および $y = \frac{7 - 3\sqrt{5}}{2}$ です。

2. 解き方の手順

$x^3 + y^3$ を直接計算しても良いですが、$x^3 + y^3 = (x+y)(x^2 -xy + y^2)$ という公式を利用すると、計算が楽になります。さらに、$x^2-xy+y^2 = (x+y)^2-3xy$ と変形できるため、$x^3+y^3=(x+y)((x+y)^2-3xy)$ となります。

まず、$x+y$ を計算します。

$x + y = \frac{7 + 3\sqrt{5}}{-2} + \frac{7 - 3\sqrt{5}}{2} = \frac{-(7 + 3\sqrt{5}) + (7 - 3\sqrt{5})}{2} = \frac{-7 - 3\sqrt{5} + 7 - 3\sqrt{5}}{2} = \frac{-6\sqrt{5}}{2} = -3\sqrt{5}$

次に、$xy$ を計算します。

$xy = \frac{7 + 3\sqrt{5}}{-2} \cdot \frac{7 - 3\sqrt{5}}{2} = \frac{(7 + 3\sqrt{5})(7 - 3\sqrt{5})}{-4} = \frac{7^2 - (3\sqrt{5})^2}{-4} = \frac{49 - 9 \cdot 5}{-4} = \frac{49 - 45}{-4} = \frac{4}{-4} = -1$

したがって、

$x^3 + y^3 = (x+y)((x+y)^2 - 3xy) = (-3\sqrt{5}) ((-3\sqrt{5})^2 - 3(-1)) = (-3\sqrt{5})(9 \cdot 5 + 3) = (-3\sqrt{5})(45 + 3) = (-3\sqrt{5})(48) = -144\sqrt{5}$

3. 最終的な答え

$-144\sqrt{5}$