与えられた式 $x^2 - 3xy + 2y^2 + x + y - 6$ を因数分解する。

1. 問題の内容

与えられた式 $x^2 - 3xy + 2y^2 + x + y - 6$ を因数分解する。

2. 解き方の手順

まず、$x$ について整理する。

$x^2 + (-3y + 1)x + (2y^2 + y - 6)$

次に、$x$ についての二次式であるとして、定数項 $2y^2 + y - 6$ を因数分解する。

$2y^2 + y - 6 = (2y - 3)(y + 2)$

この結果を用いて、元の式を因数分解できるか試す。

$x^2 + (-3y + 1)x + (2y - 3)(y + 2) = (x + ay + b)(x + cy + d)$ の形になるはずである。

定数項を比較すると $bc = 2y - 3$ 、 $ad = y + 2$ となることが期待される。

また、 $ac = 2$ , $bd = -6$ である。

$(x + (y + 2))(x + (2y - 3))$ を展開してみると、

$x^2 + (y + 2)x + (2y - 3)x + (y + 2)(2y - 3) = x^2 + 3yx - x + 2y^2 + 4y - 3y - 6 = x^2 + 3xy - x + 2y^2 + y - 6$

符号が違うので、片方の符号を変えてみる。

$(x - (y + 2))(x - (2y - 3))$を展開してみると、

$x^2 - (y + 2)x - (2y - 3)x + (y + 2)(2y - 3) = x^2 - yx - 2x - 2yx + 3x + 2y^2 - 3y + 4y - 6 = x^2 - 3xy + x + 2y^2 + y - 6$

となり、元の式と一致する。

したがって、$x^2 - 3xy + 2y^2 + x + y - 6 = (x - (y + 2))(x - (2y - 3))$

$= (x - y - 2)(x - 2y + 3)$

3. 最終的な答え

$(x - y - 2)(x - 2y + 3)$