与えられた4つの和をそれぞれ計算します。 (1) $\sum_{k=0}^{n-1} (-\frac{1}{3})^k$ (2) $\sum_{l=6}^{18} l^2$ (3) $\sum_{k=1}^{n+1} (4k^3 - 1)$ (4) $\sum_{k=0}^{n} (3k-1)^2$

## 解答

1. 問題の内容

与えられた4つの和をそれぞれ計算します。

(1) $\sum_{k=0}^{n-1} (-\frac{1}{3})^k$

(2) $\sum_{l=6}^{18} l^2$

(3) $\sum_{k=1}^{n+1} (4k^3 - 1)$

(4) $\sum_{k=0}^{n} (3k-1)^2$

2. 解き方の手順

(1) $\sum_{k=0}^{n-1} (-\frac{1}{3})^k$ は、初項1、公比 $-\frac{1}{3}$、項数nの等比数列の和です。

等比数列の和の公式 $S_n = \frac{a(1-r^n)}{1-r}$ より、

$S_n = \frac{1(1-(-\frac{1}{3})^n)}{1-(-\frac{1}{3})} = \frac{1-(-\frac{1}{3})^n}{\frac{4}{3}} = \frac{3}{4} (1-(-\frac{1}{3})^n)$

(2) $\sum_{l=6}^{18} l^2$ は、$\sum_{l=1}^{18} l^2 - \sum_{l=1}^{5} l^2$ と変形できます。

$\sum_{k=1}^{n} k^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$ の公式を利用します。

$\sum_{l=1}^{18} l^2 = \frac{18(18+1)(2*18+1)}{6} = \frac{18*19*37}{6} = 3*19*37 = 2109$

$\sum_{l=1}^{5} l^2 = \frac{5(5+1)(2*5+1)}{6} = \frac{5*6*11}{6} = 5*11 = 55$

よって、$\sum_{l=6}^{18} l^2 = 2109 - 55 = 2054$

(3) $\sum_{k=1}^{n+1} (4k^3 - 1)$ は、$4\sum_{k=1}^{n+1} k^3 - \sum_{k=1}^{n+1} 1$ と変形できます。

$\sum_{k=1}^{n} k^3 = (\frac{n(n+1)}{2})^2$ の公式を利用します。

$4\sum_{k=1}^{n+1} k^3 = 4(\frac{(n+1)(n+2)}{2})^2 = 4(\frac{(n+1)^2(n+2)^2}{4}) = (n+1)^2 (n+2)^2$

$\sum_{k=1}^{n+1} 1 = n+1$

よって、$\sum_{k=1}^{n+1} (4k^3 - 1) = (n+1)^2 (n+2)^2 - (n+1) = (n+1)((n+1)(n+2)^2 - 1) = (n+1)((n+1)(n^2+4n+4)-1)=(n+1)(n^3+5n^2+8n+3)$

(4) $\sum_{k=0}^{n} (3k-1)^2$ は、$\sum_{k=0}^{n} (9k^2 - 6k + 1)$ と変形できます。

これは、$9\sum_{k=0}^{n} k^2 - 6\sum_{k=0}^{n} k + \sum_{k=0}^{n} 1$ となります。

$\sum_{k=0}^{n} k^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$

$\sum_{k=0}^{n} k = \frac{n(n+1)}{2}$

$\sum_{k=0}^{n} 1 = n+1$

よって、$\sum_{k=0}^{n} (3k-1)^2 = 9\frac{n(n+1)(2n+1)}{6} - 6\frac{n(n+1)}{2} + (n+1) = \frac{3}{2}n(n+1)(2n+1) - 3n(n+1) + (n+1) = (n+1)(\frac{3}{2}n(2n+1) - 3n + 1) = (n+1)(\frac{6n^2+3n-6n+2}{2}) = (n+1)(\frac{6n^2-3n+2}{2}) = \frac{(n+1)(6n^2-3n+2)}{2} = \frac{6n^3+3n^2-n+2}{2}$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{3}{4} (1-(-\frac{1}{3})^n)$

(2) 2054

(3) $(n+1)(n^3+5n^2+8n+3)$

(4) $\frac{6n^3+3n^2-n+2}{2}$