与えられた式 $ab(a-b) + bc(b-c) + ca(c-a)$ を因数分解せよ。

1. 問題の内容

与えられた式 $ab(a-b) + bc(b-c) + ca(c-a)$ を因数分解せよ。

2. 解き方の手順

まず、式を展開します。

$ab(a-b) + bc(b-c) + ca(c-a) = a^2b - ab^2 + b^2c - bc^2 + c^2a - ca^2$

次に、この式を整理します。

$a^2b - ab^2 + b^2c - bc^2 + c^2a - ca^2 = a^2(b-c) + b^2(c-a) + c^2(a-b)$

この式をさらに変形します。

$a^2(b-c) + b^2(c-a) + c^2(a-b) = a^2(b-c) + b^2c - b^2a + c^2a - c^2b$

$= a^2(b-c) + bc(b-c) - a(b^2 - c^2)$

$= a^2(b-c) + bc(b-c) - a(b-c)(b+c)$

$= (b-c)[a^2 + bc - a(b+c)]$

$= (b-c)[a^2 + bc - ab - ac]$

$= (b-c)[a^2 - ab - ac + bc]$

$= (b-c)[a(a-b) - c(a-b)]$

$= (b-c)(a-b)(a-c)$

$= -(a-b)(b-c)(c-a)$

$= (a-b)(b-c)(-1)(a-c)$

$= -(a-b)(b-c)(a-c)$

$= (a-b)(c-b)(c-a)$

$= -(a-b)(b-c)(a-c)$

3. 最終的な答え

$-(a-b)(b-c)(c-a)$

あるいは

$(a-b)(b-c)(c-a)$に$-1$をかけたもの。

または展開形の $-(a-b)(b-c)(c-a)$ を $(a-b)(c-b)(c-a)$と変形しても良い。

$(a-b)(b-c)(a-c)$ の並び替えで、符号が変わります。

最終的な答えは

$-(a-b)(b-c)(c-a)$

です。

または$(a-b)(b-c)(c-a)$に $-1$ をかけたものです。

別解:

因数定理を利用します。

$f(a, b, c) = a^2b - ab^2 + b^2c - bc^2 + c^2a - ca^2$

$a = b$ のとき、$f(a, b, c) = a^2a - aa^2 + a^2c - ac^2 + c^2a - ca^2 = 0$ より、$a-b$ は因数。

同様に、$b = c$ のとき、$f(a, b, c) = a^2b - ab^2 + b^2b - bb^2 + b^2a - ba^2 = 0$ より、$b-c$ は因数。

$c = a$ のとき、$f(a, b, c) = a^2b - ab^2 + b^2a - ba^2 + a^2a - aa^2 = 0$ より、$c-a$ は因数。

よって、$f(a, b, c) = k(a-b)(b-c)(c-a)$ と表せる。

$a^2b$ の項の係数を比較すると、$1 = k(1)$ なので、$k = -1$.

よって、$f(a, b, c) = -(a-b)(b-c)(c-a)$.

最終的な答え: $-(a-b)(b-c)(c-a)$