$x^3 + y^3$ を計算する問題です。ただし、$x = \frac{7 + 3\sqrt{5}}{2}$、$y = \frac{7 - 3\sqrt{5}}{2}$ とします。つまり、以下の式を計算します。 $(\frac{7 + 3\sqrt{5}}{2})^3 + (\frac{7 - 3\sqrt{5}}{2})^3$

1. 問題の内容

$x^3 + y^3$ を計算する問題です。ただし、$x = \frac{7 + 3\sqrt{5}}{2}$、$y = \frac{7 - 3\sqrt{5}}{2}$ とします。つまり、以下の式を計算します。

$(\frac{7 + 3\sqrt{5}}{2})^3 + (\frac{7 - 3\sqrt{5}}{2})^3$

2. 解き方の手順

$x^3 + y^3$ を因数分解すると、以下のようになります。

$x^3 + y^3 = (x+y)(x^2 - xy + y^2)$

さらに、$x^2 - xy + y^2 = (x+y)^2 - 3xy$ と変形できます。

したがって、$x^3 + y^3 = (x+y)((x+y)^2 - 3xy)$ となります。

まず、$x+y$ を計算します。

$x + y = \frac{7 + 3\sqrt{5}}{2} + \frac{7 - 3\sqrt{5}}{2} = \frac{7 + 3\sqrt{5} + 7 - 3\sqrt{5}}{2} = \frac{14}{2} = 7$

次に、$xy$ を計算します。

$xy = \frac{7 + 3\sqrt{5}}{2} \times \frac{7 - 3\sqrt{5}}{2} = \frac{(7 + 3\sqrt{5})(7 - 3\sqrt{5})}{4} = \frac{49 - 9 \times 5}{4} = \frac{49 - 45}{4} = \frac{4}{4} = 1$

よって、

$(x+y)^2 = 7^2 = 49$

$3xy = 3 \times 1 = 3$

$(x+y)^2 - 3xy = 49 - 3 = 46$

したがって、

$x^3 + y^3 = (x+y)((x+y)^2 - 3xy) = 7 \times 46 = 322$

3. 最終的な答え

322