以下の3つの問題があります。 (1) グラフが点(2, 1)を頂点とし、点(1, -2)を通る2次関数を求める。 (2) グラフが3点(0, 0), (1, 1), (-2, 16)を通る2次関数を求める。 (3) グラフが3点(-2, 0), (3, 0), (4, -12)を通る2次関数を求める。

1. 問題の内容

以下の3つの問題があります。

(1) グラフが点(2, 1)を頂点とし、点(1, -2)を通る2次関数を求める。

(2) グラフが3点(0, 0), (1, 1), (-2, 16)を通る2次関数を求める。

(3) グラフが3点(-2, 0), (3, 0), (4, -12)を通る2次関数を求める。

2. 解き方の手順

(1) 頂点が(2, 1)であることから、2次関数は $y = a(x - 2)^2 + 1$ と表せる。

このグラフが点(1, -2)を通るので、x = 1, y = -2を代入すると、

$-2 = a(1 - 2)^2 + 1$

$-2 = a + 1$

$a = -3$

したがって、2次関数は $y = -3(x - 2)^2 + 1$ である。

これを展開すると、

$y = -3(x^2 - 4x + 4) + 1$

$y = -3x^2 + 12x - 12 + 1$

$y = -3x^2 + 12x - 11$

(2) 3点(0, 0), (1, 1), (-2, 16)を通る2次関数を $y = ax^2 + bx$ とおく(原点を通るため)。

点(1, 1)を通ることから、$1 = a(1)^2 + b(1)$より、$a + b = 1$

点(-2, 16)を通ることから、$16 = a(-2)^2 + b(-2)$より、$4a - 2b = 16$

これを整理すると、$2a - b = 8$

2つの式を連立させて解くと、

$a + b = 1$

$2a - b = 8$

足し合わせると、$3a = 9$

$a = 3$

$b = 1 - a = 1 - 3 = -2$

したがって、2次関数は $y = 3x^2 - 2x$ である。

(3) 2点(-2, 0), (3, 0)を通ることから、2次関数は $y = a(x + 2)(x - 3)$ と表せる。

このグラフが点(4, -12)を通るので、x = 4, y = -12を代入すると、

$-12 = a(4 + 2)(4 - 3)$

$-12 = a(6)(1)$

$a = -2$

したがって、2次関数は $y = -2(x + 2)(x - 3)$ である。

これを展開すると、

$y = -2(x^2 - 3x + 2x - 6)$

$y = -2(x^2 - x - 6)$

$y = -2x^2 + 2x + 12$

3. 最終的な答え

(1) y = -3x^2 + 12x - 11

(2) y = 3x^2 - 2x

(3) y = -2x^2 + 2x + 12