$\sqrt{18-12\sqrt{2}}$ を簡単にせよ。

1. 問題の内容

$\sqrt{18-12\sqrt{2}}$ を簡単にせよ。

2. 解き方の手順

二重根号を外すことを考えます。

$\sqrt{a-b\sqrt{c}}$ の形を $\sqrt{x}-\sqrt{y}$ の形にしたいので、

$(\sqrt{x}-\sqrt{y})^2 = x + y - 2\sqrt{xy}$

と比較して、$x+y = 18$, $2\sqrt{xy} = 12\sqrt{2}$ つまり $xy = 72$ となる $x, y$ を見つけます。

$x > y$ と仮定します。

$x+y=18$と$xy=72$から、$x$と$y$は二次方程式 $t^2-18t+72=0$ の解である。

この二次方程式を解くと、

$t = \frac{18 \pm \sqrt{18^2 - 4 \cdot 72}}{2} = \frac{18 \pm \sqrt{324-288}}{2} = \frac{18 \pm \sqrt{36}}{2} = \frac{18 \pm 6}{2}$

よって、$t=12, 6$。

$x > y$ より $x = 12$, $y = 6$ となります。

したがって、

$\sqrt{18-12\sqrt{2}} = \sqrt{(\sqrt{12}-\sqrt{6})^2} = |\sqrt{12}-\sqrt{6}| = \sqrt{12}-\sqrt{6} = 2\sqrt{3}-\sqrt{6}$

3. 最終的な答え

$2\sqrt{3}-\sqrt{6}$