放物線 $C_0$ をx軸方向に-1、y軸方向に-3だけ平行移動すると、放物線 $C_1$ になった。さらに、$C_1$ をx軸に関して対称移動すると $C_2: y = x^2 - 2x + 2$ になった。もとの放物線 $C_0$ の方程式を求めよ。

1. 問題の内容

放物線 $C_0$ をx軸方向に-1、y軸方向に-3だけ平行移動すると、放物線 $C_1$ になった。さらに、$C_1$ をx軸に関して対称移動すると $C_2: y = x^2 - 2x + 2$ になった。もとの放物線 $C_0$ の方程式を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、$C_2$ の方程式から、$C_1$ の方程式を求める。$C_1$ をx軸に関して対称移動すると $C_2$ になるので、$C_2$ のyを-yに置き換えることで $C_1$ の方程式を得る。

$C_2: y = x^2 - 2x + 2$ より、

$-y = x^2 - 2x + 2$

$y = -x^2 + 2x - 2$

これが $C_1$ の方程式である。

次に、$C_0$ から $C_1$ への平行移動を考える。$C_0$ をx軸方向に-1、y軸方向に-3だけ平行移動すると $C_1$ になるので、$C_1$ のxをx+1、yをy+3に置き換えることで $C_0$ の方程式を得る。

$y+3 = -(x+1)^2 + 2(x+1) - 2$

$y = -(x^2 + 2x + 1) + 2x + 2 - 2 - 3$

$y = -x^2 - 2x - 1 + 2x - 3$

$y = -x^2 - 4$

3. 最終的な答え

$y = -x^2 - 4$