与えられた分数の分母を有理化し、式を簡単にします。 分数式は $(\sqrt{3} + \sqrt{5}) / (\sqrt{3} - \sqrt{5})$ です。

1. 問題の内容

与えられた分数の分母を有理化し、式を簡単にします。

分数式は $(\sqrt{3} + \sqrt{5}) / (\sqrt{3} - \sqrt{5})$ です。

2. 解き方の手順

分母を有理化するために、分母の共役である $(\sqrt{3} + \sqrt{5})$ を分子と分母の両方に掛けます。

$\frac{\sqrt{3} + \sqrt{5}}{\sqrt{3} - \sqrt{5}} = \frac{\sqrt{3} + \sqrt{5}}{\sqrt{3} - \sqrt{5}} \times \frac{\sqrt{3} + \sqrt{5}}{\sqrt{3} + \sqrt{5}}$

分子は $(\sqrt{3} + \sqrt{5})^2$ となります。これは以下のように展開できます。

$(\sqrt{3} + \sqrt{5})^2 = (\sqrt{3})^2 + 2(\sqrt{3})(\sqrt{5}) + (\sqrt{5})^2 = 3 + 2\sqrt{15} + 5 = 8 + 2\sqrt{15}$

分母は $(\sqrt{3} - \sqrt{5})(\sqrt{3} + \sqrt{5})$ となります。これは差の二乗の公式 $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$ を使って展開できます。

$(\sqrt{3} - \sqrt{5})(\sqrt{3} + \sqrt{5}) = (\sqrt{3})^2 - (\sqrt{5})^2 = 3 - 5 = -2$

したがって、式は以下のようになります。

$\frac{8 + 2\sqrt{15}}{-2}$

分子の各項を -2 で割ります。

$\frac{8}{-2} + \frac{2\sqrt{15}}{-2} = -4 - \sqrt{15}$

3. 最終的な答え

$-4 - \sqrt{15}$