次の計算問題を解きます。 $\frac{1}{2+\sqrt{5}} + \frac{1}{\sqrt{5}+\sqrt{6}} + \frac{1}{\sqrt{6}+\sqrt{7}}$

1. 問題の内容

次の計算問題を解きます。

$\frac{1}{2+\sqrt{5}} + \frac{1}{\sqrt{5}+\sqrt{6}} + \frac{1}{\sqrt{6}+\sqrt{7}}$

2. 解き方の手順

分母の有理化を行います。各項の分母の共役複素数を分子と分母にかけます。

第1項:

$\frac{1}{2+\sqrt{5}} = \frac{1}{2+\sqrt{5}} \times \frac{2-\sqrt{5}}{2-\sqrt{5}} = \frac{2-\sqrt{5}}{4-5} = \frac{2-\sqrt{5}}{-1} = -2+\sqrt{5}$

第2項:

$\frac{1}{\sqrt{5}+\sqrt{6}} = \frac{1}{\sqrt{5}+\sqrt{6}} \times \frac{\sqrt{5}-\sqrt{6}}{\sqrt{5}-\sqrt{6}} = \frac{\sqrt{5}-\sqrt{6}}{5-6} = \frac{\sqrt{5}-\sqrt{6}}{-1} = -\sqrt{5}+\sqrt{6}$

第3項:

$\frac{1}{\sqrt{6}+\sqrt{7}} = \frac{1}{\sqrt{6}+\sqrt{7}} \times \frac{\sqrt{6}-\sqrt{7}}{\sqrt{6}-\sqrt{7}} = \frac{\sqrt{6}-\sqrt{7}}{6-7} = \frac{\sqrt{6}-\sqrt{7}}{-1} = -\sqrt{6}+\sqrt{7}$

これらを足し合わせます。

$(-2+\sqrt{5}) + (-\sqrt{5}+\sqrt{6}) + (-\sqrt{6}+\sqrt{7}) = -2 + \sqrt{5} - \sqrt{5} + \sqrt{6} - \sqrt{6} + \sqrt{7} = -2 + \sqrt{7}$

3. 最終的な答え

$\sqrt{7} - 2$